高考、競賽試題中備受青睞的“費馬點”

☉山西省永濟中學 李 琴

高考、競賽試題中備受青睞的“費馬點”

☉山西省永濟中學 李 琴

近年來，越來越多的命題者對一些著名的數學問題進行挖掘改造，命制出不少好題，其中不少是涉及著名的“費馬點（Fermat Point）問題”.費馬點問題最早是由費馬在一封寫給意大利數學家托里拆利的信中提出的，托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀的數學家斯坦納重新發現了這個問題，并系統地進行了推廣，因此這個點也稱為托里拆利點或斯坦納點，相關的問題也被稱作費馬-托里拆利-斯坦納問題.

費馬點：數學上稱，到三角形三個頂點距離之和最小的點為費馬點.它是這樣確定的：

（1）如果三角形有一個內角大于或等于120°，這個內角的頂點就是三角形的費馬點；

（2）如果三個內角均小于120°，則在三角形內部對三邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點.

平面四邊形中費馬點證明相對于三角形中較為簡易，也較容易研究.

（1）在凸四邊形ABCD中，費馬點為兩對角線AC、BD交點P.

（2）在凹四邊形ABCD中，費馬點為凹頂點D（P）.

對于更多邊形的情況，求解費馬點就是非常麻煩的，這里就不再贅述.眾多命題者對費馬點也情有獨鐘如：

題目1（2013年四川省高考文科試題第15題）在平面直角坐標系內，到點A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，-1）的距離之和最小的點的坐標是_______.

題目2（2007年全國高中聯賽試題第7題）在平面直角坐標下中，有四個定點A（-3，0），B（1，-1），C（0，3），D（-1，3）及一個動點P，則|PA|+|PB|+ |PC|+|PD|的最小值為_______.

試題賞析：這兩道題給出的都是平面上四個定點，求一個動點到這四個定點的距離之和的最小值及成立的條件即此動點的位置，這兩題中給出的四個定點雖然坐標不同但是將這四點連接后都構成了平面內的一個凸四邊形，所以此題拋去平面坐標系后的命題立意即為在平面內找一點使得其到一個凸四邊形的四個頂點的距離最小及最小值是多少.

求解策略：題目1：設平面上一點P（x，y），則

|PA|+|PC|≥|AC|（當且僅當P點位于線段AC上時取等號），

|PB|+|PD|≥|BD|（當且僅當P點位于線段BD上時取等號），

所以|PA|+|PB|+|PC|+|PD|≥|AC|+|BD|（當且僅當P點位于線段BD與AC的交點時取等號），即當到四點距離最小時，P點的坐標即為直線AC與直線BD的交點，求得為P（2，4）.

題目2：同理可得|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取得的最小值

試題探源：上述兩題題主要考查的是距離之和的最小值問題，牽涉到的是兩點間的距離公式，所以題源就在課后的習題中，題目如下：

題目3 （人教A版數學必修2第三章習題3.3B組的第8題）已知0＜x＜1，0＜y＜1，求證：并求使等式成立的條件.

題目賞析：本題看似是一個純代數的不等式的證明問題，但是放在必修2第三章直線與方程的習題中，而且前面第三小節學的內容就是平面上兩點間的距離公式，學生很容易從不等式左邊的結構上看出形似兩點間的距離公式，遂采用數形結合的思想構造，若令點P（x，y），A（0，1），B（1，0），C（1，1），O（0，0）則將不等式的左邊轉化為幾何問題，即為四邊形ABCO內部一點P到點A，B，C，O的距離，由題意得|PA|+|PB|+|PC|+|PO|≥|AB|+|OC|=（當且僅當P點位于線段AB與OC的交點時取等號），此時A，B，C，O四點構成了一個邊長為1的正方形，由題意當點P位于其對角線的交點時，即即當時，取等號，左邊取得最小值為課本的此題，立意較高，形式用不等式給出，既考查了兩點距離公式，又讓同學同時具備數形結合及轉化的思想，既考查了最小的距離，又考查了最小距離時點P的坐標，同時兼顧題目1與題目2考查的內容，而題目1，題目2將題目3的條件強化，沒有要求點P是四邊形內部的點，且構成的四邊形不是特殊的四邊形，而是一般的凸四邊形，用坐標給出幾點的坐標，讓同學解決起來更容易上手.

題目4 （2010年全國高中數學聯賽安徽賽區預賽試卷第5題：三角形中的費馬點問題）設Z是復數，則|Z-1|+|Z-i|+|Z+1|的最小值等于_______.

試題賞析：設復平面上A（-1，0），B（1，0），C（0，1），問題轉化為在復平面上求一點到△ABC三個頂點的距離之和的最小值，此點即為△ABC內部的費馬點，經計算得最小值為

本題以復數為依托，考查費馬點也是獨具匠心，如果考生用代數思想求解的話就會非常麻煩，如果了解三角形內的費馬點，一切迎刃而解.

題目5（2008年全國高考江蘇卷第17題：費馬點在實際生活中的應用）某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A、B及CD的中點P處，已知AB=20km，BC= 10km，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上（含邊界），且A、B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO、BO、OP，設排污管道的總長為ykm.

（1）按下列要求寫出函數關系式：

①設∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數關系式；②設OP=x（km），將y表示成x的函數關系式.

（2）請你選用（1）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短.

試題賞析：本題以實際問題為依托，考查函數概念、解三角形、導數等基本知識，考查學生的建模、解模能力、抽象概括能力、解決實際問題的能力.題中第（2）問求三條排污管道的總長度最短，即求：△ABP中的費馬點問題，這樣根據費馬點定義，確定出O點的位置，即可求解.

題目6（2013年四川省高考理科卷第15題：平面內費馬點的衍生推廣）設P1，P2，…，Pn為平面α內的n個點.在平面α內的所有點中，若點P到點P1，P2，…，Pn的距離之和最小，則稱點P為點P1，P2，…，Pn的一個“中位點”.例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點.現有下列命題：

①若三個點A，B，C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點.②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點.③若四個點A，B，C，D共線，則它們的中位點存在且唯一.④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點.

試題賞析：本題所提出的“中位點”的概念源于“費馬點”本問題在“費馬點”的意義不變的情況下進行了適當的拓廣，具有一般性，但是學生在理解的基礎上解決這個問題不會很難，但是如果知曉“費馬點”的上述特征，那么判斷①和④的正確性就非常容易了.

題目7（2013年北大“百年數學”體驗營試題第1題：四邊形中費馬點問題的衍生推廣）在單位正方形ABCD內（包括邊界）自由選取若干個節點（數目任意），并與A，B，C，D四點用直線練成一個連通網絡（連通圖），求這樣的網絡總長度的最小值，并證明你的結論.

試題賞析：本題在單位正方形中研究節點，節點數目任意所以需要對其進行討論，對考生的要求較高，但本題試題設置及背景其實就是費馬點的問題，所以（1）當網絡沒有增加節點時，最小值相當于正方形的三邊長即為3.（2）當網絡增加一個內部節點時即為本文的題目3問題，最小值即為當網絡增加其內部的兩個節點M，N時，問題轉化為求（AM+BM）+MN+（CN+DN）的最小值，當保持AM+BM不變時，M在以AB為焦點的橢圓上運動，同理保持CN+DN不變時，N在以CD為焦點的橢圓上運動，調整M，N時知，當AM=BM，CN=DN時MN最小，即只有當M，N在AB（CD）的中垂線上時，總長度最短，此時，正方形中心在直線MN上，因此，M，N分別是△ABO和△CDO的費馬點，易求得此時網絡總長度最小是為當網絡中增加三個或以上的節點時，易知必存在一個節點時多余的，即此時網絡總長度比（3）中求得的最小值要大，所以綜合得網絡總長度的最小值為

結束語：一些著名的數學問題一直是命題專家青睞的題源，比如阿波羅尼斯圓、阿基米德三角形、斐波那契數列、畢達哥拉斯學派的形數理論等等，所以教師對這些經典問題首先自己要有所了解，然后在平時的教學中適當的傳授給學生，既激發學生對數學的興趣，又能讓學生遇到此類問題時心中有譜，對學生的數學學習也是大有裨益的.