數學誤解的元話語與應對要義

朱小平

（揚州市梅嶺小學，江蘇 揚州 225002）

數學是學生感覺到較難、問題較多的一門學科。數學教學除了講解必要的知識給學生聽，更重要的是盡可能地解決學生所遭遇的困惑與錯誤，從而為其掌握更多的知識提供智慧支持。盡管錯誤難以避免，但我們仍然希望通過教學的改進和兒童自身的努力來減少錯誤，以增強學生學好數學的信心和能力。根據我們的訪談發現，多數學生所犯數學錯誤主要有兩種：一種是根本不會解答題目，純屬瞎做而出錯；另一種則是會解答題目，只是因誤會或失誤才導致出錯。前者多與題目難度偏高或學生學業水平偏低有關，后者多因誤解而起，且具有極高的研究價值和現實意義。

一、數學誤解的元話語

（一）基本含義

數學誤解，從廣義層面講，指錯誤的數學解法和數學理解；從狹義層面講，專指存在誤會或失誤的數學解法和數學理解。

我們認為，數學誤解主要指兒童對數學知識的理解和數學問題的判斷有偏差、誤會或失誤，由此而導致了對實際問題的錯誤解法。數學誤解屬于數學錯誤的一種，但數學錯誤未必都是由數學誤解而引起。

研究數學誤解，可以更好地認識和肯定數學錯誤的價值，學生面對知識或問題時，由于某種誤解的存在，最終沒有選擇某種正確方式，也就產生了錯誤。在一定程度上講，“數學誤解”的提法可能比“數學錯誤”更具有積極意義。因為“數學錯誤”的提法可能會使教師單方面認為是兒童自身的原因才導致了數學學習中錯誤的存在；而“數學誤解”則時刻提醒我們，要認識到消除誤解是師生雙方都要努力溝通的事實，更重要的是能夠加深學生對知識的理解和端正教師對待學生錯誤的態度。

（二）常見類型

1.按照誤解程度的深淺，數學誤解可以分為迷思類誤解和失誤類誤解兩種。前者表現為需要有他人的點撥并伴以深入的剖析和思考，具有時間長久、反復發生的特點；后者表現為誤認、誤讀、誤判、誤算，具有時間短暫、事后自明的特點。

2.按照誤解涉及的層面，數學誤解可以分為語言類誤解和思維類誤解。對數學的學習不僅是對問題解決的思維訓練與學習，還包括對數學這一特殊的語言形式的學習,即包括對數學語言的識別、理解和語義轉換。兒童對一些字詞的理解偏差導致誤解的產生屬于語言類誤解。思維類誤解多與思維品質、習慣、方法有關，如思維不嚴謹，思維定式等。

3.按照誤解發生的元素，數學誤解可以分為技能型誤解、計算型誤解、概念型誤解和問題解決型誤解等四種類型。如“學生利用量角器度量(畫)45°的角，誤把135°的角量（畫）成45°的角”屬于技能型誤解；數學錯誤“4×25÷4×25=100÷100=1”和“1450-450÷25×18=1000÷25×18=40×18=720”均屬于計算型誤解；把“半圓的周長”等同于“圓周長的一半”屬于概念型誤解；學生解決實際問題“小明和小紅一共有150張郵票。如果小明給小紅8張郵票，兩人郵票張數就一樣多。小紅原來有多少張郵票?”錯誤列式為“（150-8）÷2”則屬于問題解決型誤解。

（三）形成原因

1.學生自身學習方面

（1）表現在數學學習的專注程度上。在物質豐富、娛樂盛行的社會背景下，盡管教師以富有童趣的活動形式向兒童展現數學本身的魅力，但仍有不足以吸引學生的眼球和注意力的時候。有些兒童由于缺少良好的學習習慣和態度，時常處于“一心二用”“粗略讀題”“草率思考”的狀態之中，“道聽途說”“掛一漏萬”“誤讀、誤判、誤算”的情況時有發生。

（2）表現在處理問題的方法使用上。在學習數學知識的進程中，由于心理表象的缺失或片面，基礎圖式的缺乏或不當，代表性經驗推理的不足，兒童容易對概念做不適宜的推廣，對結論做隨意性擴展，對方法做不恰當的遷移。[1]事實表明，兒童聽出的“弦外之音”和想出的“題外之意”多有誤解。

（3）表現在應對問題的思維傾向上。兒童在思考數學問題時，由于過去的學習心理傾向帶來思維的單向性和戀舊性，不自覺地在過于限制的領域建立數學聯系，或者出于對某種數學形式的偏好而忽略了其對立的形式等。如因為353＞36，而誤認為3.53＞3.6，即小數位數多數值就大。

2.教師現場教學方面

（1）缺少傳承與超越教材的課程意識與實施能力。目前，絕大多數教師完全忠實于教材機械執行與直接照搬是不爭的事實。一套教材的編制熔鑄了諸多教育專家和優秀教師的心血和智慧，固然值得“拿來”使用，但教材中提供的多是具有代表性的典型實例，學生由于缺少對更多例子的了解，難免會形成片面的數學認識和誤解。如學生認識梯形容易產生的誤解就有兩個：一是認為梯形中“正著的”和“有直角的”是梯形，而“歪著的”不是梯形；二是誤以為相互平行的那組對邊，短邊是上底，長邊是下底。

（2）缺少指導兒童數學思維的對話意識與溝通能力。對話有助于消除分歧、克服偏見、達成共識。但是在課堂教學中，教師如果只是滿足于點對點的對話，持守單項、線性的知識灌輸傾向，不改變兒童學習被動、消極的知識接受狀態，那么，藏在兒童思想深處的數學誤解就難以得到顯現、消解和清除。誤解之誤解，絕不會“負負得正”般變為正確，只能愈加地偏離數學的正確與完整。唯有通過對話，學生方能對所學知識去蕪存菁，進行正確的理解和內化，賦予知識以個體意義，從而獲得思想的啟迪和觀念的解放。

二、數學誤解的應對要義

蒙田曾經說過，“名師高瞻遠矚，其高明處就是俯就少年的步伐，指導他前進”[2]。為幫助兒童解決知識學習上的問題，幫助其形成解決學習問題的正確思路，我們既要強化學生自我教育的觀念，又要改進自己的教學行為，并提高教學活動的針對性。

（一）對成長中的兒童進行學習方法的詳細指導

“讀書有三到，謂心到，眼到，口到。三到之中，心到最急，心既到矣，眼口豈不到乎？”

——南宋教育家朱熹

當前，尤其需要對學生進行如何“認真聽講”和“仔細讀題”兩方面的學習指導，做到“聽講合一，讀思結合”，從而提高學生數學學習的質量，有效預防數學誤解的無端產生。

“認真聽講”方面的指導主要包括：（1）既要聽，還要講。杜絕不聽不講，倡導既聽又講，鼓勵認真聽，主動講。要求每個人每周至少發言一次。（2）認真聽，不只是聽教師講話內容，還要聽取同學的發言內容。聽的過程要分析和篩選信息，努力聽出關鍵和重點所在。（3）主動講，指及時講出自己的疑惑與異議，以及獨到的想法和解題思路。

“仔細讀題”方面的指導主要包括：（1）每題讀三遍，忌只讀一遍或者跳讀全題；（2）讀第一遍，要細讀全題并了解大概意思；（3）讀第二遍鎖定關鍵詞、關鍵句，邊讀邊想，并關注前后單位名稱是否一致；（4）讀第三遍再次鎖定關鍵詞、關鍵句，進一步理清數量之間的關系，并確認解題思路；（5）對于熟悉的題目，可以兩遍完成原先讀三遍的任務，對于陌生的、有難度的題目，需要在運用解決問題的策略分析題目的同時，不斷地回到題目邊讀題邊思考。

（二）以整體視角解讀、演繹和豐盈數學課程內容

“知識只有成為整體狀態的時候，特別是對兒童的個體有整體意義的時候，它才呈現出其‘生命’。”[3]

——華南師范大學教授郭思樂

整體視角主要指整體觀照典型實例與非典型實例、知識的背景與背景中的知識進行科學而完整的教學，使兒童所掌握的基礎知識基礎性能強、概括程度高。毋庸置疑，對新材料學習的適應性越廣泛，認識就越全面，遷移能力就越強，所產生的誤解也就越少。

1.以典型實例啟蒙，運用變式凸顯本質

學生運用表象的方式，常常首先以典型的例子為工具，進而將典型的例子作為普遍的、一般化的結論推廣使用。為此，運用變式豐富典型實例的數量，可以凸顯知識的本質，獲得理性的認識。比如上文中提及的關于梯形的認識時，除了上底與下底的長度進行變式外，還要在梯形的身子“正”與“歪”方面進行變式，以豐富心理表象，強化圖形的本質特征與屬性，是“只有一組對邊平行的四邊形”，至于這個四邊形是不是上小下大，身子是不是端端正正的，無關緊要。

再比如，認識平行四邊形的高時，教材提示語為“從平行四邊形一條邊上的一點到它對邊的垂直線段，是平行四邊形的高，這條對邊是平行四邊形的底”，學生結合插圖對照理解提示語，會認知聚焦“從頂點處向下畫的垂直線段為高”，同時隱藏兩個誤解，即“從頂點處畫出的垂直線段才是高，從其他的點畫出的垂直線段不是高”和“從一個頂點出發，只能畫一條高”。為此，學生完成基本練習后，待時機成熟教師需要說明清楚：不指定點畫高，平行四邊形有無數條高；指定過頂點畫高，平行四邊形有兩條高；過一條邊上的點（不包括兩端出的點），只能畫一條高。同時，呈現各自對應的圖像，形成完整的數學表象。

2.放大認知活動背景，悟得知識真義

有經驗的教師都知道，如果只是讓學生閱讀教材或聽取教師講解“a2讀作a的平方，表示2個a相乘，即a×a，不表示2乘a”，也就是認知活動的背景僅是局限于a2與2a的比較的話，仍然會有不少學生誤認為a2等同于a×2。其實，對學生而言，數學學習困難之一就是出現的數字不參與運算，沒有出現的數字卻要參與運算。“a的平方”中沒有提及數字2，這無形之中就增強了理解的難度。為此，我們可以改變a2的表述形式，即a2讀作a的2次方，表示a×a。同時，介紹a3的讀法和意義，并讓學生推測a4的讀法和意義，從而達到整體感知、悟得真義的教學目的。學生由于先前獲得了關于a的幾次方的整體意義，進入練習環節后把a2與2a再比較，能有效地區分二者的意義，避免了對a2產生歧義。

在復習課中，有時也需要放大認知活動背景，將知識彼此融會貫通。比如，復習等式的性質，除了指向含有未知數的等式，還應指向純數字的等式。以“5×6=3×10”為例，引出“5×6+16=3×10+16、5×6－5=3×10－5、5×6×2=3×10×2、5×6÷2=3×10÷2”，建立起兩類等式的實質性聯系，加深了對等式的性質的本質理解，防止學生誤認為等式的性質僅適用于含有未知數的等式。

3.緊扣思維方法，形成數學策略性經驗

眾所周知，問題解決的關鍵在于能不能找到合適的解題策略。在解決問題過程中，有意識地積累和提升策略性經驗，形成穩定的分析和解決問題的操作框架，可以避免學生的數學思維出現生搬硬套、誤判誤用的情況。

比如，五年級《解決問題的策略——轉化》中例2的教學，教師一般都會在學生嘗試計算和觀察算式特點之后，把思考引向通過數形結合將計算轉化為計算，進而追問如何計算。若是對后兩道算式的計算學生不再通過畫圖體驗轉化的思維過程，僅僅是觀察算式進行推想的話，學生則會自行強化并形成結論性經驗“1減去最后一個分數”。當遇到計算時，絕大多數學生都誤以為可以轉化成，而事實卻并非如此。為此，在完成上述變式練習后可以進行二次變式練習，即計算和，通過畫圖發現以及，緊扣思維方法“數形結合”，積累和形成數學策略性經驗“用整體1減去空白部分的分數進行轉化”。

（三）創造指向眾多兒童數學誤解的話語圈教學

“教師在課堂上講什么當然是重要的，然而學生想的是什么卻更是千百倍的重要。”

——數學教育家波利亞

在日常數學課堂中，話語圈的形成和維持常有相對固定的人員和既定的內容。參與話語圈的人員多為表現欲強、思維敏捷、口齒伶俐的兒童；話語圈的內容多為教材中寫明的知識和技能。話語圈外的兒童，往往不會主動自述誤解。鑒于此，教學反饋覆蓋面要廣，及時地把圈外的兒童和誤解拉入到話語圈中來。

1.探尋根源，釜底抽薪

誤解的根源多為認識有誤區、思維有定式、經驗有局限、方法有缺陷等，我們在其根源的判斷和糾偏上多下功夫，針對數學觀念、思維方式、活動經驗、思考方法等方面的改變施加影響，達到標本兼治的干預效果。

比如，在一次質量調研中，我們發現班級中有二十幾名學生口算，誤以為不可以化簡。從表面看，這些學生是缺少一定的數感和觀察能力，他們沒有發現69是23的3倍。但深入調查和分析之后發現，產生誤解的根源是學生業已形成的數學觀念“可以化簡的分數，其分子是合數”起到了決定性的影響，很顯然，這一數學觀念是片面的認識。為此，“可以化簡的分數長什么樣子”成了話語圈教學的議題。

又如，有學生誤以為4×0=4，4÷0=4，這是怎么回事兒呢？將該學生的想法納入到話語圈后，大家怎么猜也猜不出為何有如此想法。最后，由他自己揭開謎團。原來他由“4+0=4，4-0=4”運算意義的解釋“4+0表示4沒有加一個數，4-0表示沒有減去一個數”，進而推想出“4×0表示4沒有乘一個數，4÷0表示4沒有除以一個數，結果自然還是它自己本身”。顯然，造成誤解的原因是基礎圖式的缺乏或理解不當。加法的意義和乘法的意義才是正確的基礎圖式，基于此理解“4×0表示4個0相加和4÷0的商不唯一，故不做討論”成為可能。

2.加強對比，固本強枝

兒童學習數學感到最為頭痛的是那些樣子長得差不多的數學知識和數學問題。下面以解決問題為例，談談如何加強對比，消除學生對問題的性質和結構的誤解。

比如，對于題目“一堆桃子有10個，一共重8千克，平均分給5只小猴。每只小猴分到多少個桃子？每只小猴分到多少千克桃子？”的講評，話語圈教學的三次對比：一是比較解決兩個問題的相同之處，即都是求具體的數量，都是用總數量除以份數得到每份的數量；二是補充問題“每只小猴分到這堆桃子的幾分之幾”，讓學生解答之后說出具體思路，即問題是求分率，是用總分率1除以份數5得到每份的分率；三是把補充問題“每只小猴分到這堆桃子的幾分之幾”改為“1只小猴分到8千克桃子的幾分之幾”和“1只小猴分到10個桃子的幾分之幾”。讓學生再次分析和思考，并比較三個問題的相同之處，即表述形式不同，但都是求1份對應的分率，都是用總分率1除以份數5得到每份的分率。學生歷經三次話語圈議題的比較和交流，豐富了對問題的表征經驗，強化了對問題性質的識別，鞏固了關于解決求具體數量和求分率這兩類實際問題的正確理解。

誠如蒙田所言：“人是會犯錯誤的，這一點至少讓我們在改變看法時更加謹慎克制。我們應該記住，不管理解了什么，常會理解到一些錯誤的東西，它們同樣是通過這些時常會自相矛盾和迷誤的心靈做出的。”[4]數學誤解總是產生于特定的時間、特定的空間和特定的情境之中。事不避難，知難不難。為扭轉誤解頻出的局面，讓兒童學習數學的心情好起來，我們在找準誤解根源進行定點清除的同時，尤其需要以整體視角審視教學的設計與實施，因為有效預防數學誤解的發生遠比消除已經發生的誤解更為重要！▲

[1]郜舒竹,薛漣霞.學生錯誤研究之文獻綜述[J].數學教育學報，2009(1):75-78.

[2]蒙田.蒙田隨筆全集：第1卷[M].馬振騁,譯.北京:中國華僑出版社,2009:135.

[3]郭思樂.知識過程的生長本質：小立課程的關鍵[J].課程·教材·教法，2004(1):3-9.

[4]蒙田.蒙田隨筆全集：第2卷[M].馬振騁,譯.北京:中國華僑出版社,2009:224.