ABC指數與幾類點度拓撲指數的關系

甘 露

（湖北師范大學數學與統計學院，湖北黃石 435002）

GAN Lu

ABC指數與幾類點度拓撲指數的關系

甘 露

（湖北師范大學數學與統計學院，湖北黃石 435002）

原子鍵連通性指數（ABC簡稱指數）是Eatrada等人在Randic指數的基礎上提出的一類拓撲指數。該指數已被證實為研究烷烴的穩定性及環烷烴的應變能等提供了很好的模型。給出了ABC指數和幾類點拓撲指數的關系。

ABC指數；點拓撲指數；X指數

0 引言

拓撲指數是從化合物的結構圖衍生出來的不變量．近年來，很多拓撲指數是許多數學工作者和化學工作者的主要研究方向，而這些拓撲指數中連通性指數是最為人們所熟知并且有著廣泛應用的拓撲指數．然而，許多物質的物理化學性質更多是由分子因子度來決定而不能只看支化度，為了能考慮分子因子度同時還能保持連通性指數的精髓，Estrada［1］在1998年提出了一個新的指數，原子鍵連通性指數，簡稱ABC指數．該指數的定義如下：

其中E（G）是邊的集合，du，dv分別是點u和點v的度。

ABC指數的數學性質在文獻［2～4］中已被廣泛研究，該指數已被證明在研究烷的熱形成中是一個有效的預測性指數，且已被用來研究烷的穩定性以及環烷的應變能等．Zhong［5～6］等人研究了關于R，ABC，X和H及GA指數之間的關系．Al［7］繼續了Zhong的工作，又得到了一些點度拓撲指數GA，AZI，R，ABC，H，X之間的關系．本文將進一步研究ABC指數與X，R指數之間的關系．

1 概念及引理

本節將給出幾個涉及到的概念和引理．首先給出一些點拓撲指數的概念：

以下是幾個引理：

引理1 設x，y∈Z＋，則-，等號成立的充要條件是x＝y．

證明 我們很容易得到

等號成立的充要條件是x＝y．

等號成立的充要條件是a＝b．

2 主要結果

定理1 設G是一個n（n≥3）階連通圖，且最小度δ≥2，

左邊等號成立的充要條件是G≌Cn，右邊等號成立的充要條件是G≌C3．

左邊等號成立的充要條件是G≌C4，右邊等號成立的充要條件是G≌K4．證明 由vi和vj的對稱性，不妨設2≤dj≤dj≤n－1，我們考慮函數

知F（x，y）是關于y的單調遞增函數．由于2≤x≤y≤n－1，則F（x，y）的最小值是F（x，x）．又F（x，x）＝是關于x的單調遞增函數，于是F（x，x）在（x，x）＝（2，2）處能夠得到最小值，即F（x，x）≥F（2，2）＝2．因此ABC（G）≥X（G），等號成立當且僅當x＝y＝2即G≌Cn．

由于F（x，y）是關于y的單調遞增函數．另一方面，我們也能夠得到F（x，y）的最大值是F（x，n－1）．

那么F（x，n－1）關于x的單調遞減函數，因此F（x，n－1）≤F（2，n－1）＝，等號成立當且僅

當x＝2．

當x＝n－2，則

由此，我們得到F（x，n－1）的最大值是max｛F（2，n－1），F（n－2，n－1），F（n－1，n－1）｝．當n≥5或n＝3時，利用作差法我們很容易得到

等號成立的充要條件是G≌C3．

等號成立的充要條件是G≌K4．

定理2 設G是一個n≥2階的連通圖，則

等號成立的充要條件是G≌K2．

第一個不等式等號成立當且僅當du＝dv，第二個不等式等號成立當且僅當du＝dv＝1．

等號成立的充要條件是G≌K2．

定理3 設G是一個n≥2階的連通圖，其最大度為Δ，則

等號成立的充要條件是G≌K2．

第一個不等式等號成立當且僅當du＝dv，第二個不等式等號成立的等價條件是du＝dv＝1．

等號成立的充要條件是G≌K2．

［1］Estrada E，Torres L，Rodriguez L，et al．An atom－bond connectivityindex：modelling the enthalpy of formation of alkanes［J］．Indian J Chem，1998，37A：849～855．

［2］Furtula B，Graovac A，Vukicevic D．Atom－bond connectivity index of trees［J］．Discrete Appl Math，2009，157：2828～2835．

［3］Das K C．Atom－bond connectivity index of graphs［J］．Discrete Appl Math，2010，158：1181～1188．

［4］Gan L，Hou H，Liu B．Some Results on Atom－Bond connectivity Index of Graphs［J］．MATCH Commun Math Comput Chem，2011，66：669～680．

［5］Zhong L，Cui Q．On a relation between the atom－bond connectivity and the first geometric－arithmetic indices［J］．Discrete Appl Math，2015，185：249～253．

［6］Zhong L，Xu K．Inequalities between vertex－degree－based topological Indices［J］．MATCH Commun Math Comput Chem，2014，71：627～642．

［7］Ali A，Bhatti A，Raza Z．Further inequalities between vertex－degree－based topological indices［J］．Interation Journal of Applied ＆computatio Mathematics，2014，doi：10．1007／S408 19－016－0213－4．

Relations on ABCindex and several vertex－degree－based topological indices

（College of Mathematics and statistics，Hubei Normal University，Huangshi 435002，China）

In order to take factors into account but at the same time to keep the spirit of Randic index，Estrada et al．proposed the atom－bond connectivity（ABC）index．The ABC index provides a good model for the stability of linear and branched alkanes as well as the strain energy of cycloalkanes．In this paper，we established some relations between ABC index and several other vertex－degree－based topological indices．

Atom－bond connectivity index；vertex－degree－based topological indices；X index

GAN Lu

O157．6

：A

1009－2714（2016）04－0014－04

10．3969／j．issn．1009－2714．2016．04．004

2016—05—02

國家自然科學基金（NSFC）：11601139．

甘露（1985— ），女，湖北黃石人，碩士，研究方向為圖論．