測地流上的封閉周期軌道的漸近擴張

劉亞麗

（南京理工大學理學院，江蘇南京 210000）

測地流上的封閉周期軌道的漸近擴張

劉亞麗

（南京理工大學理學院，江蘇南京 210000）

黎曼流形上的雙曲流或Anosov流的閉軌道是一些常見的動力系統的周期運動的像。例如測地流就是一種特殊的雙曲流，而閉測地線可以看作是測地流的閉軌道。得到了負曲率流形上的閉測地線的漸近形式．對于一對閉測地線，若它們的軌道長度之差位于一個已知的區間內，且它們的字長都等于一個定值，而對于滿足這些條件的閉測地線的漸近問題，是文章的主要研究內容。

測地線；傅里葉變換；測地流；符號動力系統

0 引言

黎曼流形上的雙曲流或Anosov流的閉軌道是一些常見的動力系統的周期運動的像．例如測地流就是一種特殊的雙曲流，而閉測地線可以看作是測地流的閉軌道．通過對封閉軌道及其分布的研究不僅可以更好地認識流形的結構，對動力系統的便利性質、漸近行為以及運行狀況的了解更具有決定性的意義．研究雙曲黎曼面上的閉測地線的漸近問題是一個經典問題．1956年，Selberg發表了關于跡追蹤公式，之后，Huber論證了一個漸近公式，也即是素測地線定理．π（T）：＝＃｛γ ：l （γ）≤T｝～．1986年，Parry和Pollicott［6］討論了Anosov流的周期軌道在同調類中的分布．Sharp［5］得到了對于πβ2（T）：＝＃均可以轉化為～πα（T）＝～π（T，α＋［φ0T］來求解，即πβ2（T）

然而，很少有關于兩條測地線的長度之差等于一個定值的漸近問題的討論．通過理論研究，我們對于測地流上的周期軌道的結構有了更進一步的了解，對之后連通圖上周期軌道的研究有很大的幫助．符號動力系統是動力系統理論的一個重要分支，有關它的研究仍在繼續．我們已經了解了它的眾多性質，但它本身仍有很多特性有待揭示．本文就主要通過建立符號動力系統，在測地流上周期軌道與有限型移位空間的周期點之間建立了一個對應關系．

1 問題的提出

設V是一個截面曲率為負數的緊致光滑流形，且它有一個光滑黎曼度量。記P為流形V上的所有素閉測地線的集合．定義1 設函數n：p→Z，若存在常數0＜c1＜c2，對任意的γ∈P，有c1l（γ）≤n（γ）≤c2l（γ），則稱函數υ是l－可比較函數。若υ是l－可比較的，且存在ξ∈R，使得對任意的ε＞0，當時N→∞，＃以指數形式趨近于零，那么就稱函數υ是強l－可比較的。那么對于任意一條閉測地線γ，n（γ）即為它的字長．

記πn

定理1 設V是一個緊致光滑流形，它的截面曲率K∈［－h，h］，其中h＞0。那么存在一個強l－可比較函數υ∶P→Z，使得對任意的a＜b，有πn（［a，b］）～．其中λ＞1，

2 測地流和周期軌道

設M＝SV是流形V的單位切叢，即M＝｛（x，υ）∈TV∶‖υ‖x＝1｝，其中‖·‖x是TxV上的范數。對于任意的（x，υ）∈M，都存在唯一的測地線γ∶R→V，使得γ（0）＝x，˙γ（0）＝υ．那么就定義測地流φt∶M→M，φt（x，υ）＝（γ（t），˙γ（t））．

易知測地流φt上的周期軌道和V上的閉測地線有一一對應的關系，且流上的最小周期長度與閉測地線的長度相等．那么在這里對這兩者不作區分．

3 Markov截面和擴張映射

為了對測地流進行詳細的分析，定義局部強穩定流形Wssε（x）和局部強不穩定流形Wsuε（x）．即對任意的x∈M和ε＞0，

選擇任意小的局部截面Г＝｛T1，…，Tk｝，橫向截斷M上的測地流，使得每條軌道都與Цki＝1Ti有無限次相交．而且Г中的元素在Poincare映射∶（Markov性質）的作用下具有很好的性質．即

定義一個C1函數r∶Цik＝1Ti→R＋，它表示每條軌道與兩個截面相交的次數，

對每個Ti，令Si（x）＝W（x）∩Ti，那么這樣的Si是葉狀的，并且包含一個局部不穩定流形Ui．沿著穩定流形折疊，映射誘導了一個Markov映射τ∶。而且黎曼度量上的－收縮條件使得Si（x）僅僅依賴于x，所以映射τ是C1的．在這里，為了避免記號的濫用，定義r∶

下面定義一個有限型移位空間．

首先定義一個只有0和1的k×k矩陣A，

其中0＜θ0＜1，0＜θ1＜1．

根據上面的討論容易知道φt∶M→M上的每一條周期軌道γ都與τ∶上的周期軌道對應（可能不唯一）．這里的不唯一是由于軌道通過截面的邊界引起的．如果與γ對應的｝是唯一的，記n（γ）＝n，也就是x的周期．如果不唯一，那么就記n（γ）等于所有這些與γ的軌道的最小周期．而且還有l（γ）＝rn（x）∶＝r（x）＋r（τx）＋…＋r（τn－1x），其中是與γ對應的任意一條τ－軌道．

引理1 存在0＜θ2＜1，使得

引理2 函數n∶P→Z是強l－可比較的．

證明：顯然函數r是有界的，那么n的l－可比較性是明顯的。特別地，當n（γ）＝n，l（γ）＝rn（x）時，我

定義轉移算子，有L－sr∶

引理3［1］存在0＜θ3＜1，使得對任意的x0有∈＝1Ui，有

“當務之急是加強規章制度建設，使‘糧食銀行’在統一制度和規則下運行?！弊＼S華認為，應從國家層面總結各地經驗，針對“糧食銀行”存在的風險漏洞，建立健全規章制度，使其有章可循、規范運作、健康發展。多位受訪者認為，“糧食銀行”經營業務涉及千家萬戶，遭遇糧食市場低迷行情，運行暴露出的多重風險值得關注，亟待出臺政策引導和規范。

引理4［3］給定一個ε＞0，存在C＞0，0＜θ4＜1，使得對任意的（其中p≥1），

4 定理1的證明

為了問題的研究，這里需要介紹一個直積動力系統．

引理5［4］記ρ（s）＝P（sR），則有

引理6［4］存在ε＞0，使得

（ii）對t∈（－ε，ε），存在一個光滑的坐標變換υ＝υ（t），使得ep（it）＝λ2（1－υ2）．記

引理7 存在0＜θ5＜1，使得對任意的t ＜ε，有

引理8 存在0＜θ＜1，α≥1，使得對任意的t＜ε，有

證明：由引理2和引理3，

令

根據傅里葉反變公式，引理5，引理6，引理7，可得

證明：根據伽馬函數的性質，

令χ＝χ［a，b］，即用［a，b］上的指示函數χ［a，b］來替代χ．則對任意的ε＞0，選擇緊支撐函數χ－≤χ［a，b］≤χ＋，使得

綜上，πn

4 結束語

遍歷論和動力系統是20世紀以來最富有成就數學分支之一，其中一個主要的研究方向就是討論流形上雙曲流或測地流的周期軌道分布以及各種軌道平均的漸近行為，測地流是一種特殊的雙曲流．本文主要討論的是測地流上周期軌道的漸近問題．

本文只對測地流上周期軌道的漸進問題進行了理論研究，而對于該問題在其他方面的應用還沒完全解決，如：設G是一個各個結點度數都不小于3的連通圖，Sharp［1］已經得到N（T）＝，而本文得出的結論，對于G這樣的連通圖是否成立，以及如果不成立，還需要哪些條件等有關問題都還有待后續討論．

［1］Sharp R．Comparing length functions on free groups，in“Spectrum and Dynamics”［J］，CRM Conference Proceedings ＆Lecture Notes，2010，52：185～207．

［2］Morten S，Risager，Richard Sharp．Pairs of periodic orbits with fixed homology difference［J］，Dynamical Systems，2008，30：15～17．

［3］Bowen R．Symbolic dynamics for hyperbolic flows［J］．Amer J Math，1973，95：429～600．

［4］Pollicott M，Sharp R．Correlations of length spectra for negatively curved manifolds［J］．Invent math，2013，319：1 ～16．

［5］Pollicott M，Sharp R．Correlations for pairs of closed geodesics［J］．Invent math，2006，163：1～24．

［6］Ruelle D．An extension of the theory of Fredholm determinants［J］．Publ Math（IHES），1990，72：175～193．

［7］Dolgopyat D．On decay of correlations in Anosov flows［J］．Ann of Math，1998，147：357～390．

Asymptotic expansion for closed orbits of geodesic flows

LIU Ya－li

（Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 21000，China）

The closed orbits of hyperbolic or Anosov flows on Riemann manifolds are the images of the periodic motion of some common dynamical systems．For example，the geodesic flow is a special double flow，and closed geodesics can be regarded as a closed orbit of the geodesic flows．In this paper we obtain asymptotic estimates for pairs of closed geodesics on negatively curved manifolds．For a pair of closed geodesics，the differences of whose lengths lie in a prescribed shrinking intervals and their length are equal to a constant value．And researching the asymptotic question for which pairs of geodesics meeting these aboving conditions is the main content of this article．

geodesics；Fourier transform；geodesic flows；symbolic dynamical systems

O19

：A

：1009－2714（2016）04－0022－06

10．3969／j．issn．1009－2714．2016．04．006

2016—05—08

劉亞麗（1992— ），女，河南泌陽人，碩士生．