確定等腰三角形及頂點坐標的技巧

? 孫志剛

(作者單位：山東省招遠市齊山鎮十字道初級中學 265414)

確定等腰三角形及頂點坐標的技巧

? 孫志剛

初中數學綜合探究性問題中，經常滲透考察等腰三角形存在性及頂點坐標問題，是數學中考或競賽中備受青睞的一個重要測試點，由于解決此類問題通常涉及三角形、圓的有關知識的綜合運用，以及分類思想、對稱思想的應用，而且學生在解決此類問題中往往分析不到位或者思維不全面，導致出錯率很高，所以極具考查與訓練價值。解決此類問題的關鍵，主要是線段垂直平分線與圓的靈活運用以及分類討論時做到不重不漏。下面以舉例形式作分析說明。

一、基本思想和方法

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在中考試題中占有重要的位置。

例1、已知線段AB，求作一點P，使ΔABP為等腰三角形。你能作多少個？

1．如圖1，若線段AB為等腰三角形的底邊，則可作線段AB的垂直平分線CD，在CD上除了點O(AB與CD的交點)外，其它任意一點與A、B的連線(PA、PB)均可作出等腰三角形(ΔABP)，所以依此方法能作無數個等腰三角形。

2．如圖2，若線段AB為等腰三角形的一腰，且點A為頂角的頂點，則可以A為圓心，以AB的長為半徑作圓。在此圓上，除了點B和點B'(過AB的直徑BB’的兩個端點)外，其它任意一點(P)與A、B的連線(PA、PB)均可作出等腰三角形(ΔABP)，所以依此方法也能作無數個等腰三角形。

3．同理，如圖3，若線段AB為等腰三角形的一腰，且點B為頂角的頂點，則可以B為圓心，以AB的長為半徑作圓。在此圓上，除了點A和點A'(過AB的直徑AA’的兩個端點)外，其它任意一點(P)與A、B的連線(PA、PB)均可作出等腰三角形(ΔABP)，所以依此方法還能作無數個等腰三角形。

綜上所述，“已知線段AB，求作一點P，使ΔABP為等腰三角形。”可以作無數個。

二、基本技巧的應用

進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的是“不漏不重”。

分析：此題比較容易看出存在這樣的點P，使ΔAOP為等腰三角形。但難點在于：(1)究竟有幾個符合條件的點？即要把滿足條件的點一個不漏地找齊；(2)如何求這些點的坐標？

三、解題能力的升華

(作者單位：山東省招遠市齊山鎮十字道初級中學 265414)