存在觀測站位置誤差的轉發式時差無源定位

朱穎童， 董春曦， 劉松楊， 董陽陽， 趙國慶 西安電子科技大學 電子信息攻防對抗與仿真技術教育部重點實驗室, 西安 710071

存在觀測站位置誤差的轉發式時差無源定位

朱穎童*， 董春曦， 劉松楊， 董陽陽， 趙國慶 西安電子科技大學 電子信息攻防對抗與仿真技術教育部重點實驗室, 西安 710071

無源定位中，由于觀測站安放在運動平臺等原因造成的觀測站位置誤差會影響無源定位精度性能。另外到達時間差(簡稱時差)(TDOA)的轉發式測量需要將不同觀測站截獲到的輻射源信號都轉發到同一位置，如主觀測站。針對這兩個問題，提出了基于約束總體最小二乘(CTLS)的無源定位算法。首先將轉發式時差的非線性定位方程轉化為不需要中間變量的直接線性方程，再基于CTLS算法依次轉化為約束優化問題和無約束優化問題，最后推導給出定位近似閉式解。仿真實驗表明在觀測站誤差較大時，該算法與其他算法相比定位精度性能較好。

無源定位； 到達時間差(TDOA)； 觀測站位置誤差； 約束總體最小二乘(CTLS)； 近似閉式解

無源定位具有作用距離遠，安全隱蔽性能好，獲取信息多而準等優勢，是電子對抗的一個重要的研究方向。無源定位問題是非線性問題，在解決該問題時需要克服有偏差、計算量大等困難，因此雖然數據量不是很大，但如何能夠通過簡單的計算或迭代得到高精度的估計結果，一直以來都得到了廣泛而深入的研究。多站時差定位以其全面、精確、實時性好的優勢在現代定位中得到了廣泛的應用。隨著技術的發展，無源探測設備已經被安裝在飛機、偵察衛星、無人駕駛飛機等運動平臺上[1]，這些運動平臺自身的位置估計會存在誤差，因此會影響無源時差定位的性能。

文獻[2]指出測量時差的方法大致分為兩種：一種是采用同步時鐘的方式在不同位置分別測量信號某一特征點的時間再相減；另一種是將信號轉發到同一位置，比較它們相對移動多長時間后最相像。為了描述簡便，在這里把第1種時差稱為基于同步時鐘的差分式時差，第2種時差稱為轉發式時差。相關的討論無源時差定位的論文所用到的時差都是假定基于前一種方法得到。文獻[2]指出后一種方法測量得到的轉發式時差具有更高的精度。文獻[3]給出的根據相位估計時差算法以及時差測量精度分析是基于將不同觀測站將截獲到的輻射源信號轉發到同一接收機的場景。因此通過轉發和測量得到轉發式時差是輻射源信號直接輻射到主觀測站所需時間與經過副觀測站轉發到達主觀測站所需時間之差。不存在觀測站位置誤差時，因為可以確切得到主副觀測站之間距離差，所以兩種方法的時差可以相互無誤差轉換。但是當存在觀測站位置誤差時，兩種方法的時差相互轉換時會引入觀測站位置誤差，因此利用第2種方法得到的時差進行無源定位時需要針對觀測站位置誤差設計特定的定位模型和算法。

目前考慮觀測站位置誤差的無源時差定位主要包括文獻[4-9]，其中文獻[4-6]基于兩步加權最小二乘法(Two-stage Weighted Least Squares (WLS))進行改進，文獻[7-9]基于約束總體最小二乘(CTLS)法進行改進。這兩類算法雖然在估計中間變量時考慮了觀測站位置誤差，但由中間變量估計最終定位結果時仍會受到主觀測站位置誤差的影響。因此考慮直接可以得到定位結果的模型，文獻[10]首次提出無需中間的定位模型來分析多徑效應對定位的影響。文獻[11]利用該模型，將定位問題最終轉化為廣義Rayleigh商問題，通過廣義特征值分解來求解輻射源位置，該算法并未考慮觀測站位置誤差。文獻[11-13]都是采用廣義Rayleigh商進行定位求解，這類算法不需要對輻射源位置進行預估，但其校正矩陣將多個變量的噪聲項按方差加權相加，并未根據定位時實際定位數據的誤差大小進行校正，因此當含噪聲的變量較多且噪聲方差較大時定位精度不佳。文獻[14-16]基于CTLS定位求解，定位性能較好，但求解需要迭代，計算量較大。文獻[17-19]給出了定位閉式解，以較少的計算量仍可達到不錯的定位性能。

本文的無源時差定位算法同時考慮觀測站位置誤差和時差測量誤差。首先將利用轉發式時差的非線性定位方程轉化為不需要中間變量的直接線性方程，然后根據CTLS算法將線性方程轉化為約束優化問題，并轉化為等價的無約束優化問題，并最終給出定位的近似閉式解。

本文內容組織如下：第1節給出利用轉發式時差的無源定位模型，將三維非線性定位方程轉化為不需要中間變量的直接線性方程；第2節基于CTLS算法，根據線性方程中時差誤差和觀測站位置誤差的結構，將定位問題轉化為約束優化問題；第3節推導給出定位近似閉式解，第4節進行了仿真實驗。

1 利用轉發式時差的直接線性定位模型

本文實現對輻射源目標的三維定位，副觀測站轉發目標信號給主觀測站以測量得到轉發式時差。為了保證定位結果的唯一性，假定觀測站不在同一個平面或同一條直線上。

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：στi1(i=2,3,…,M)為各時差測量的標準差。

文獻[3]給出轉發式時差的στi1的計算公式為

(5)

式中：Bn為接收機噪聲帶寬；T為測量積累時間；一般為信號持續時間；γ為有效輸入信噪比；Bs為信號等效帶寬。

對比時差的兩種測量方法，基于同步時鐘的差分式時差雖然原理簡單，但測量精度比較難以提高。而轉發式時差，信號帶寬越寬，信號時間越長，信噪比越高，測量得到的精度越高。

轉發式時差對應的距離差為

(6)

式中：c為信號傳播的速率。

下面推導給出轉發式時差無源定位的直接線性方程。令輻射源信號的發射時刻為t0，信號傳遞到主觀測站的時間為t1，信號經過副觀測站i轉發到主觀測站的時刻為ti，有

(7)

(8)

(9)

將式(8)和式(9)等號兩邊分別平方并相減，轉化可得

(10)

當i≠j時，由式(10)可得

(11)

(12)

將式(12)代入式(11)，可得如下線性方程

(13)

因此，根據式(13)可以將M個觀測站測量得到的M-1時差構造成M-2個獨立線性方程以求解輻射源目標的位置，寫成矩陣與向量運算的形式如式(14)所示。為了使線性方程組非欠定，需要滿足M≥5。如果觀測站觀測站數目M=4，只能得到3個時差，獨立方程數降低，無法得到唯一解，會存在定位結果模糊的問題。對于該情況，可以利用觀測站得到的其他測量信息解模糊，如主觀測站測量得到的目標波達方向(DOA)。另外，也可以引入正則化方法解決定位方程ill-posed問題，如Tikhonov正則化法、正則CTLS法等。

A*X*=b*

(14)

式中：X*=u*=[x*y*z*]T

A*=

b*=

由于各副觀測站與主觀測站之間距離可以由各觀測站的位置坐標計算得到，因此經過一系列變換后得到矩陣A*和向量b*只利用了輻射源信號直接到達主觀測站與經過各副觀測站轉發到達主觀測站的時差信息，以及各觀測站位置坐標。

由于觀測站真實位置和時差無法得到，顯然矩陣A*和向量b*中各元素所受到的噪聲分量并不獨立同分布，因此使用適用于情況的CTLS來解決該問題。

2 基于CTLS的定位算法

矩陣A*和向量b*可以由含有噪聲的觀測站位置坐標和時差測量構成的矩陣A和向量b以及擾動矩陣ΔA和擾動向量Δb之和來逼近，即

(15)

令含有噪聲的變量為m=[sTτT]T，其噪聲向量為n=[ΔsTΔτT]T，由于觀測站位置噪聲和時差測量噪聲之間相互獨立，因此噪聲向量n的自相關矩陣為Rn=E(nnT)=blkdiag(Qs,Qτ)，其中blkdiag(·)表示分塊對角矩陣。由于各噪聲協方差不同，可以將n白化，令n白化后服從正態分布白噪聲向量為e。將Rn進行Cholesky分解有Rn=PPT，則噪聲向量白化的過程為e=P-1n，則有噪聲向量n與正態分布白噪聲向量e的關系為n=Pe。將測量估計得到的m代替真實向量s*和τ*代入矩陣A*和向量b*，并令替換后的矩陣和向量分別為A和b，將它們的各元素在s和τ處進行泰勒展開，有

(16)

式中：i=1,2,…,M-2；j=1,2,3；gij為矩陣A中第i行第j列對應的元素對向量m中各元素分別求偏導得到的梯度向量；gi4為向量b中第i個元素對向量m中各元素分別求偏導得到的梯度向量。

忽略式(16)中的高階項，利用一階項構造擾動矩陣ΔA和擾動向量Δb。并根據噪聲向量n與正態分布白噪聲向量e的關系n=Pe，在構造的擾動矩陣ΔA和擾動向量Δb中將噪聲向量n替換為白化后的噪聲向量e，有

(17)

式中：

(18)

上述各項中分別有如下非零項：

(2cτ21-2d21-cτ(i+2)1+d(i+2)1)/d21×

(2cτ21-2d21-cτ(i+2)1+d(i+2)1)/d(i+2)1×

聯立式(14)、式(15)和式(17)可得

(19)

式中：HX=xG1+yG2+zG3-G4；HXPe為AX-b的一階泰勒展開項。

HXPe將噪聲向量e與系統誤差項ΔAX-Δb之間的關系近似為噪聲e的線性映射。

采用CTLS算法，輻射源目標位置的求解等價于如下的約束問題：

(20)

3 定位近似閉式解的推導

由式(20)所示的約束條件可得

(21)

式中：+號表示Moor-Penrose廣義逆矩陣。

(22)

(23)

由于無約束優化的目標函數是關于X的實非線性函數，無法直接求解。因此基于CTLS算法的相關文獻基本都是利用Newton算法進行迭代求解，迭代公式為

(24)

計算目標函數的Hess矩陣和梯度向量需要多次矩陣求逆和相乘，計算復雜度高，迭代求解時間較長。另外，由于定位求解為非凸函數的求解，迭代法無法保證迭代收斂至全局最優解。因此下面推導給出不需要迭代的近似閉式解。對CTLS的無約束優化目標函數式(23)進行求導。

(25)

將式(21)代入式(25)，可得

(26)

式(26)是高斯白噪聲e的二階項。忽略二階項可以得到式(23)的近似方程為

(27)

解該近似方程可以得到CTLS的近似閉式解為

(28)

雖然近似閉式解的精度小于迭代法收斂時的結果，但由于近似忽略的是噪聲二階項，近似的線性方程與非線性方程之間相差較小，因此近似閉式解與迭代解兩者之間的精度差異較小。而又因為不存在迭代收斂的問題，近似閉式解具有更好的穩定性。

綜上所述，利用轉發式時差并考慮觀測站位置誤差的無源定位算法的步驟為

步驟1 將觀測站位置估計值和時差測量值代入式(14)得到[A b]。

4 仿真實驗

為了驗證算法的性能，分別對近距離和遠距離的目標進行了蒙特卡羅仿真實驗，比較分析各算法性能隨著觀測站位置噪聲和觀測站數目的變化。將本文提出的算法與LS算法、TLS算法、Two-stage WLS算法[6]、廣義Rayleigh商算法[11]的定位性能進行比較。LS算法和TLS算法使用的模型都是本文中推導給出的模型，即矩陣[A*b*]使用式(14)中給出的公式。本文中的時差與文獻[6]中的時差定義不同，在仿真Two-stage WLS算法時將本文中得到的時差減去光速在主副觀測站間傳播的時間換算成文獻[6]中的時差，按算法步驟實現。廣義Rayleigh商算法的仿真實現在采用文獻[11]的算法時同樣也考慮觀測站位置誤差，即對[Ab]同時進行時差和觀測站位置泰勒展開，其他步驟與文獻[11]一致。另外按文獻[20]中的公式仿真給出觀測站存在位置誤差的克拉美-羅下限(CRLB)。在仿真中，觀測站與輻射源目標在空間中的位置如表1所示。

表1 觀測站和輻射源在空間中的位置

采用均方根誤差(RootMeanSquaresError,RMSE)來度量輻射源位置的定位精度性能，其定義為

(29)

4.1 算法性能隨著觀測站位置誤差的變化

為了分析比較觀測站位置誤差對輻射源定位的影響，保持時差測量噪聲方差不變，改變各觀測站位置誤差的大小，分析比較各定位算法的定位誤差RMSE隨位置誤差的變化，在仿真實驗中，觀測站數目M設定為6，分別選取表1中前6個觀測站位置，分別選取表1中所列的近距離輻射源目標和遠距離輻射源目標，給出各算法RMSE曲線如圖1和圖2所示。在對這兩個輻射源進行定位仿真時，假定接收機噪聲帶寬Bn=30MHz，分別選取兩種固定的信號參數組進行轉發式時差測量。第1種信號的參數組為等效帶寬Bs=20MHz，信號時長T=3μs；第2種信號的參數組為等效帶寬Bs=10MHz，信號時長T=1μs。兩種信號的有效輸入信噪比γ=-10dB。可以根據這些信號參數并利用式(5)計算得到時差測量噪聲方差。根據這兩個信號參數組仿真得到的RMSE曲線如圖1(a)和圖2(b)所示。

圖1 不同觀測站噪聲對近距離輻射源目標定位時各算法的RMSE

Fig.1 Comparison of RMSEs of different algorithms versus sensor position error for close range emitter

圖2 不同觀測站噪聲對遠距離輻射源目標定位時各算法的RMSE

Fig.2 Comparison of RMSEs of different algorithms versus sensor position error for long range emitter

對于近距離輻射源目標，Two-stageWLS算法的RMSE曲線隨著觀測站誤差的增大而逐漸靠近CRLB曲線，但精度性能不是最優的。當觀測站位置誤差較小，廣義Rayleigh商算法的精度性能隨著觀測站位置誤差的增大而線性增大，當觀測站位置誤差較大(誤差大于100m)時，該算法精度性能有發散現象。當時差測量誤差較大時，本文算法在觀測站位置誤差較小(誤差小于3m)時性能不是最優的，但隨著觀測站位置誤差的增大，本文算法精度性能一直較穩定且優于其他算法；當時差測量誤差較小時，本文算法精度性能也一直優于其他算法。

對于遠距離輻射源目標，Two-stageWLS算法的RMSE曲線隨著觀測站誤差的增大而逐漸靠近CRLB曲線，但精度性能不是最優的。當觀測站位置誤差較小，廣義Rayleigh商算法的精度性能隨著觀測站位置誤差的增大而線性增大，且在觀測站位置誤差較小(誤差小于3m)時，與其他算法相比定位精度性能最優，但當觀測站位置誤差較大(誤差大于100m)時，該算法精度性能發散現象明顯。本文算法在觀測站位置誤差較小(誤差小于3m)時性能不是最優的，且在時差測量誤差較大情況下與其他算法相比定位精度性能較差，但隨著觀測站位置誤差的增大，本文算法精度性能一直較穩定且一直優于其他算法。

4.2 算法性能隨著觀測站數目的變化

為了分析比較各定位算法性能隨著觀測站數目的變化，保持時差測量噪聲方差和觀測站位置噪聲方差不變，仿真分析比較不同觀測站數目時各算法的定位誤差和解算耗時。

仿真實驗中觀測站數目M依次選取從5到9，觀測站位置依次選取表1中的各位置。觀測站在坐標系各軸方向的噪聲標準差為σs=10m。測量時差所用的信號參數組選取仿真實驗1中的第2個參數組。分別選取表1中所列的近距離輻射源目標和遠距離輻射源目標，各算法隨著觀測站數目變化的RMSE曲線如圖3所示。

圖3 不同觀測站數目時各定位算法的RMSE

Fig.3 Comparison of RMSEs of different algorithms for different number of sensors

根據圖3可知，不管輻射源目標的遠近，各算法的RMSE曲線都是隨著觀測站數目的增大而大致呈現下降的趨勢，并且逐漸靠近CRLB曲線。但精度下降的趨勢不是線性的，當觀測站數目較小，觀測站數目的增加導致的精度提高明顯，而當觀測站數目較大時，觀測站數目的增加則不會導致較大的精度提高。本文算法的精度性能隨著觀測站數目增加而有明顯提高，且提高的幅度要優于其他算法。在仿真條件下，本文算法的精度性能一直較穩定且優于其他算法。

下面分析比較各算法的計算復雜度，將本文算法與Two-stageWLS算法和廣義Rayleigh商算法進行分析比較。雖然Two-stageWLS算法與本文算法模型不同，但都需要計算兩次形如最小二乘解的求解步驟，因此兩者計算復雜度的量級應該相當。Two-stageWLS算法需要計算兩次加權最小二乘。對于三維定位來說，Two-stageWLS算法第一步是四維變量的加權最小二乘，涉及到求逆的兩個矩陣維數分別是(M-1)×(M-1)和4×4，第二步是三維變量的加權最小二乘，涉及到求逆的兩個矩陣維數分別是4×4和3×3。因此Two-stageWLS算法的計算復雜度近似為M3-3M2+3M+154。本文算法首先需要求解最小二乘解，涉及到求逆的矩陣維數為4×4，近似閉式解的計算形如加權最小二乘，涉及到求逆的兩個矩陣維數分別是(M-2)×(M-2)和3×3。但算法中構造校正矩陣需要計算44(M-2)個校正變量，各變量的構造需要計算幾次到十幾次不等的乘法和加法運算，平均以5次乘法進行統計，本文算法的計算復雜度近似為M3-6M2+232M-357。廣義Rayleigh商算法與本文算法同樣需要構造校正矩陣，兩者構造校正矩陣的計算量相當。但廣義Rayleigh商算法除了構造校正矩陣外，還需要構造矩陣束以及進行廣義特征值分解，其計算量要遠大于本文算法的形如廣義最小二乘的求解計算。

綜合上面的分析討論，當觀測站數目為幾個到幾十個之間時，本文算法的計算量要大于Two-stageWLS算法，但差異不是很明顯。但廣義Rayleigh商算法的計算量要遠大于本文算法的計算量。

表2為統計得到的仿真中各算法在不同觀測站數目時的單次定位解算平均耗時。仿真所用處理器為Inter(R)Core(TM)i7-3930K，頻率為3.2GHz，系統內存為8GB。操作系統為64位Windows7，仿真軟件為MATLABR2014b。

表2 不同觀測站數目M情況下各算法單次定位解算平均耗時

Table 2 Average elapse time per location of different algorithms versus number of sensorsM

MAverageelapsetime/msTwo-stageWLSRayleighProposedalgorithm50.1120.3590.14160.1180.3850.14470.1190.4050.15480.1240.4370.17290.1270.4910.184

由表2可知，各算法的單次定位平均耗時都隨著觀測站數目的增大而增大。本文算法的平均耗時要大于Two-stage WLS算法，但兩者差異不大。廣義Rayleigh商算法的平均耗時要遠大于本文算法，為本文算法平均耗時的2～3倍。表2實際統計得到的各算法在不同觀測數目時的單次定位解算平均耗時的比較結果與前面計算復雜度的分析結論一致，本文算法的計算復雜度介于Two-stage WLS算法和廣義Rayleigh商算法之間。

5 結 論

1) 將轉發式時差的三維非線性定位方程轉化為不需要中間變量的直接線性方程。

2) 將線性方程按時差測量誤差和觀測站位置誤差泰勒展開以構造校正矩陣，基于CTLS算法經過推導最后給出定位近似閉式解。

3) 在觀測站位置誤差較大時定位精度性能優于其它算法，計算復雜度介于Two-stage WLS算法和廣義Rayleigh商算法之間。

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朱穎童 男， 博士研究生。主要研究方向： 電子戰信號處理、 無源定位與跟蹤。

Tel: 029-88204179

E-mail: zhuyt_xd@163.com

董春曦 男， 博士， 副教授， 碩士生導師。主要研究方向： 電子對抗技術、 電子戰系統仿真。

Tel: 029-88204179

E-mail: chxdong@mail.xidian.edu.cn

Received： 2015-02-10； Revised： 2015-05-04； Accepted： 2015-07-18； Published online： 2015-07-24 13：48

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20150724.1348.001.html

Foundation items： National Basic Research Program of China (6131818012); Fundamental Research Funds for the Central Universities (JDZD140503, JDYB140810)

*Corresponding author. Tel.： 029-88204179 E-mail: zhuyt_xd@163.com

Passive localization using retransmitted TDOA measurements in the presence of sensor position errors

ZHU Yingtong*, DONG Chunxi, LIU Songyang, DONG Yangyang, ZHAO Guoqing

KeyLaboratoryofElectronicInformationCountermeasureandSimulationTechnology,MinistryofEducation,

XidianUniversity,Xi’an710071,China

Location sensors placed in the motion platform may result in position error, which will affect the performance of passive positioning accuracy. Retransmitted measurement of the time difference of arrival (TDOA) needs to transmit emitter signal intercepted by different sensors to the same location, such as the main sensor. For these two issues, a passive location algorithm is proposed based on constrained total least squares (CTLS). First, the nonlinear equation using retransmitted TDOA is converted to a direct linear equation without intermediate variables. Then, the direct linear equation is transformed into a constrained optimization problem and unconstrained optimization problems based on CTLS algorithm. A quasi-closed-form solution to the passive location is derived. Simulations prove that the proposed algorithm achieves better location accuracy than the previous algorithms in the case of higher sensor position error.

passive localization; time difference of arrival (TDOA); sensor position error; constrained total least squares (CTLS); quasi-closed-form solution

2015-02-10；退修日期：2015-05-04；錄用日期：2015-07-18； < class="emphasis_bold">網絡出版時間：

時間： 2015-07-24 13:48

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20150724.1348.001.html

國家“973”計劃 (6131812012)； 中央高校基本科研業務費專項資金 (JDZD140503, JDYB140810)

.Tel.： 029-88204179 E-mail: zhuyt_xd@163.com

朱穎童， 董春曦， 劉松楊， 等． 存在觀測站位置誤差的轉發式時差無源定位[J]． 航空學報, 2016, 37(2): 706-716. ZHU Y T, DONG C X, LIU S Y, et al. Passive localization using retransmitted TDOA measurements in the presence of sensor position errors[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(2): 706-716.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2015.0203

V247.5； TN971

：A

： 1000-6893(2016)02-0706-11

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