數學范式教學中的課程設計

□侯英

數學范式教學中的課程設計

□侯英

范式教學中培養學生的自主學習能力，讓他們學會學習，是大學數學教學的一個重要任務。根據數學的學科特點，文章從新課引入、概念理解和知識應用三個方面探討范式教學中的課程設計。

范式教學；自主學習；課程設計；能力

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要 (2010—2020年)》明確把“深化教育教學改革，創新教育教學方法，探索多種培養方式。注重學思結合。倡導啟發式、探究式、討論式、參與式教學，幫助學生學會學習”作為我國未來高等教育發展的目標。高等教育研究學者巴爾和塔戈指出，要在高等教育教學過程中轉變方式，并提出：從提高教的質量到提高學的質量；從灌輸學生的教學的質量到激發學生的教學的質量；從統計教了多少教學內容到檢查特定的學習成果；從教師主要作為講解者到教師主要作為學習方法和學習環境的設計者。學校教育的根本任務在于使學習者學會如何學習，學會如何與他人共同生活以及學會如何生存。我們所關注的學習焦點是學生學會如何學習、如何研究、如何思考以及如何創造。

美國研究者提出應改進大學的教學方式，學生應該學會學習。教學中教師應注重學生實際學到什么，關注他們在接受教育后會有什么樣的發展，要從長遠的角度研究如何進行教學。20世紀90年代末以來，我國高校開始借鑒“以學習者為中心”的教育理念，大學教學范式轉變從以知識內容為重心的教學范式走向以創造有意義學習經歷為重心的教學范式。

對學生來說，知識必須是現實而有意義的，這樣才有利于掌握與運用。學習應該是思考與理解的過程，是對新知識的建構。教師的教學目的在于轉變學生的認知結構和研究事物的方式，讓他們自己主動探索知識，在這一過程中學會學習、思考、解決問題。

數學由于其高度的抽象性、體系的嚴謹性等特點，使數學教學具有與其他學科不同的特點。在教學過程中，教師可以以問題為載體，創設不同的數學情境，讓學生通過自己收集、分析和處理信息來感受并體驗知識的產生過程，為學生創造有意義的學習經歷，培養他們分析問題、解決問題的能力和創造力。本文根據范式教學的實踐經驗，分析大學數學教學改革中培養學生自主學習能力的課程設計思路。

一、新課引入的課程設計

數學教學中，教師不應只是簡單地復述教材內容，而是要依據學生的理解能力、思維能力、想象能力，對數學知識“進行重組和演化，對教學方式進行設計和選擇”。新數學知識的獲取以數學問題的提出為基礎，數學是數學問題的科學，是數學問題提出與解決的科學。設計一節課的內容，教師可以通過創設情境引出問題，進而由表及里層層深入，將所學內容逐步展開。數學問題產生于數學情境，數學情境是從事數學活動的環境，產生數學行為的條件。學生通過對數學情境中信息的觀察、分析，產生疑慮、困惑，逐步發現、形成問題，激發認知沖突，促使其產生探索的欲望。設置數學情境要結合教學內容，緊扣教學目標，適合學生的認知水平，同時還要具有較豐富的數學信息，其展現形式應盡可能地生動直觀，易于理解，以便學生提出問題，進而讓學生去解決提出的問題，在探討研究的過程中體驗數學知識的形成與發展過程，并獲取數學知識。

例如，“概率論與數理統計”第七章“區間估計”這節課的引入設計。設置情境：警察在偵破案件時通常借助監控錄像，在監控視頻中可以發現可疑分子的影像，從而估計出他的身高、年齡大概是在什么范圍內，比如觀察身高是在165cm～175cm，年齡在25～30歲之間，這實際上就是對嫌疑人真實身高和年齡的區間估計。

師生互動1：引導學生分析判斷嫌疑人身高和年齡的估計值，我們最關心的是什么？

再舉例：抽測某批煙草的尼古丁含量（單位：mg），得到10個樣本值：18，24，27，21，26，28，22，31，19，20。假定煙草的尼古丁含量服從正態分布N（μ，σ2）。試求出煙草尼古丁平均含量μ的取值范圍。

師生互動2：引導學生探討估計值的范圍的精確度和可靠性應如何用數學的形式表示？由引例學生會得出估計值所在的范圍不應太大，而且準確性應盡量高，即區間的精確度和準確性兩個方面都要考慮。這樣通過層層遞進的師生活動，引導學生循序漸進地認識問題的本質，順理成章地引出置信區間的概念。通過實例創設問題情境，可以激發學生的學習興趣，有利于引導他們進一步探究問題，同時也使其認識到學習這節課的實際意義。教師設計課程所選的情境，要能讓學生對問題產生好奇心，帶著一種探求知識的渴望，自己去接近所要學習的知識點。

二、概念理解的課程設計

數學的定義、定理等內容，在敘述上都比較抽象，如何讓學生能理解其真正的含義，達到靈活運用的目的，需要教師通過精心的課程設計，幫助學生去把握。

例如，線性代數中的“線性相關和線性無關”定義：對于向量組α1，α2，…，αs，如果存在不全為零的數k1，k2，…，ks，使得k1α1+k2α2+，…+ksαs=0，則稱向量組α1，α2，…，αs線性相關。否則，稱向量組α1，α2，…，αs線性無關。對這個定義，單從字面上理解似乎并不難，但應用時往往判斷錯誤，原因是對概念的理解不夠深刻。教師可以給出如下問題：判斷下列向量組是線性相關還是線性無關？

①α1+0α2-3α3=0 ②0α1+0α2+0α3=0

③α1+2α2+3α3≠0 ③k1α1+k2α2+，…+ksαs=0

⑤對任意一組不全為零的數k1，k2，…，ks，都有k1α1+ k2α2+，…+ksαs≠0

師生互動：引導學生分析線性相關定義中的條件的含義，即只要“存在不全為零的數”滿足公式，就是線性相關，所以①是線性相關的。而②④沒有反應出是否“存在”不全為零的數使得等式成立，因此無法判斷。③只說明1、2、3作為向量組的系數不能滿足公式，除此之外還有沒有不全為零的數能滿足公式看不出，所以也無法判斷。⑤中強調“任意一組不全為零的數”都使得表達式不為零，意味著只有當k1，k2，…，ks同時取零時才有 k1α1+k2α2+，…+ ksαs=0，所以符合線性無關的定義。

由此可以看出，課堂上教師通過對定義的解釋或具體實例的分析，可以揭示概念內涵，讓學生認識概念的本質，更好地理解定義。

三、知識應用的課程設計

要使學生學會學習，教師的課程設計應始終從學生的角度去考慮，發揮學生自主學習的能力。學生在學習了定義、定理、公式以后，能用這些知識解決問題才是學習的關鍵。因此，例題的選取、習題的難度和代表性都需要教師課前做充分的思考。

比如線性代數中，解非齊次線性方程組這一節，教材中給出定理，說明方程組的解分3種情況。教師在設計課程內容時，可以先不給出定理，而用探索研究的方式講解例題，調動學生的主動性，讓他們去發現不同方程組的增廣矩陣在化為階梯形矩陣后的本質區別，從而得出用階梯形矩陣判斷方程組的解的方法。下面以無窮多組解的情況為例來說明。

首先，讓學生寫出增廣矩陣，進行初等行變換，通過化簡得到階梯形矩陣：

最后，在得出此方程組應該有無窮多組解的基礎上，再讓學生觀察階梯形矩陣中，系數矩陣的秩和增廣矩陣的秩分別為多少？與方程組中未知量的個數的大小關系是什么？由此得到定理的結論：當R（A）=R（A）=r＜n時，方程組有無窮多組解。學生很自然地總結出定理的內容。教師通過引導學生把直觀的結論上升到理論高度，可以讓他們經歷探索知識得出結論的過程，并把中學對方程組的初步認識，利用現在學習的矩陣的秩加以提升推廣，實現認知上的飛躍。這樣的教學方法，一方面能使學生理解定理的產生原因，在解具體方程組時自然能根據階梯形矩陣判斷解的情況，學生在推導定理的同時就學會了運用，從而防止出現死記硬背結論但不會用的毛病；另一方面，通過讓學生體驗探究思考的過程，培養他們的數學思維能力，提高其自主學習、自主探索分析問題的能力。

學生掌握了方程組的三種解的情況后，接下來如何更深一步地綜合運用定理，教師可以通過增大習題難度的方法進行訓練，升華認知。

由于這個題目中含有未知字母，與系數都是已知的情況不同，學生會感覺有困難。教師可以先提示學生用前面學過的方法正常化簡，然后根據化簡得到的結果，讓學生結合定理的三個結論分析取值。整個解題過程盡量調動學生的主動性，通過小組討論，各抒己見，尋找答案。課堂中運用這樣的練習題，可以將非齊次線性方程組解的三種情況放到一起，鍛煉學生綜合運用知識分析問題的能力。再布置類似的課后習題，使學生更深刻地理解定理的含義，為后續學習打下良好的基礎。

數學學習不僅僅是認知活動，教師在課程設計中還需要將學生的興趣、動機、情感、意志、行為調節、學習態度、對自己能力的信念等個性因素整合到認知過程中。課程設計總的指導思想就是在按照教學大綱的要求完成教學任務的前提下，創設符合學生認知水平的數學情境，將知識點放到具體的環境中，激發學生探求知識的興趣，充分調動學生的積極性、主動性，再用一個個問題引導學生由表及里、由已知到未知，不斷探索，憑借他們自己的能力，在教師的適度幫助下完成學習內容，真正實現學生自主學習的教學方式。

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（編輯：秦俊嫄）

G642.4

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1671-0568（2016）29-0070-03

侯英，碩士，貴州財經大學數學與統計學院副教授。研究方向：基礎數學、課程與教學論。