新課標下學生幾何解題能力的提高途徑探析

□李麗敏

新課標下學生幾何解題能力的提高途徑探析

□李麗敏

實行啟發式教學有助于落實學生的主體地位和發揮教師的主導作用。面對學生比較“懼怕”的幾何，如何“實行啟發式教學”，從而提高幾何解題能力，讓學生在學習幾何時體會成功、體會快樂，是本文的核心問題。故本文結合G·波利亞的解題思想，從多年實際教學經驗出發，以具體例題為論證，提出了指導學生建構知識網絡，在審題過程中“轉換條件”和建立“基礎題型庫”等意見，在解題上“授之以漁”，以期提高學生的幾何解題能力。

提高；幾何解題能力；認知資源；基礎題型庫

一、引言

我們常說的“數學能力”，究竟體現在什么地方？筆者認為，一位學生的“數學能力”很大程度體現在“解題能力”上。學幾何就意味著解幾何題，解決幾何問題是幾何的核心。美國著名數學家G·波利亞說過：“問題是數學的心臟。” “掌握數學意味著什么？那就是善于解題。”“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練。通過解題訓練來培養解題能力，提高數學素養。”

幾何，一直是學生比較“懼怕”的內容，如果能夠在“解題能力”上有所提高，對于學生提高學習幾何、學習數學的信心和興趣，將會有很大的幫助。

二、實踐探索

是什么原因造成了學生“解題技能”和“解題智能”發展不均衡？任教以來，在培養和提高學生幾何解題能力方面，筆者進行了一些初步的探索。那么如何培養、提高學生的幾何解題能力呢？筆者是從這兩個方面去做的。

1.指導學生建構知識網絡，審題過程中“轉換條件”

美國數學教育學者舍費爾德提出：解題需要考慮四個變項：認知資源、啟發法則、調控、信念系統。其中的認知資源是指：解題者擁有的與解題相關的數學知識，包括數學事實、運算程序及相關技巧等信息。

而筆者的學生是有相關的知識點，但沒有檢索出知識的思維程序。筆者認為，相關的知識點和思維程序就是舍費爾德提出的四個變項中的認知資源。

解幾何問題，第一步，大家都知道是“認真審題”，但是數學題目里的文字學生都認識，題目讀下來之后呢，“認真審題”究竟是審些什么？筆者指導學生“認真審題”包括三個步驟：

第一步：讀條件，搜索腦海中的相關知識以及運算程序（思維程序），盡可能“轉換條件”。

第二步：讀問題，確定自己要解決該問題，需要什么。

第三步：“條件能得到的”與“問題所需要的”之間是否銜接上，還缺什么嗎？

例如：如圖1，△ABC內接于⊙O，AD是⊙O的直徑，∠ABC=30°，則∠CAD=______。

圖1

第一步：讀到條件“AD是⊙O的直徑”時，要想到“直徑所對的圓周角是90°”，讀到條件“∠ABC=30°”時，要能想到“一條弧所對的圓心角是它所對的圓周角的2倍”以及“同弧或等弧所對的圓周角相等”。

在圓里面，解決角的問題，基本的思維程序是：判斷是否為圓心角或圓周角，如果是，找所對的弧，再找該弧所對的圓心角或圓周角。

圓心角或圓周角?所對的弧?所對的圓心角或圓周角。

條件“AD是⊙O的直徑”轉換為“∠ACD=90°”。

條件“∠ABC=30°”轉換為“∠ADC=30°”。

第二步：看問題“∠CAD=____”，第①種想法：∠CAD是圓周角，可以通過所對的弧的圓周角或圓心角求得；第②種想法：在△ADC里，利用三角形內角和求。

第三步：第一步和第二步銜接，得解。

2.指導學生建立“基礎題型庫”

有學者將對數學解題過程的理解水平分為：不知其不知；知其不知；知其然但不知其所以然；知其然又知其所以然；知其何以所以然。在這一系列水平中，常被忽視的是“知其何以所以然”，即知道解題方法和思路是如何得到的。正如G·波利亞所講的“老師的解題方法就像帽子里突然跑出一只兔子”，令人困惑不已.為了解決這個問題，G·波利亞對此進行了深入研究，得到了數學解題的一般策略，其中最重要的是自我啟發的策略，產生了重大的影響。然而，策略中的“看是否做過此題”，卻成為一些人使用“題海戰術”和“套題訓練”理由的“引經據典”，引發了新的問題。

筆者對G·波利亞的“看是否做過此題”這一策略的理解是：指導學生建立一個“基礎題型庫”。

在和學生一起解題的過程中，筆者發現，萬變不離其宗，有很多看似新題，看似很難的題目，稍微轉換一下條件，就變成前一階段的題型。有些題型，隨著新知識的學習，它會通過“改變條件呈現的形式”，一直貫穿在我們的題目中，筆者把這樣的題型叫作“基礎題型”。把具有代表性的“基礎題型”指導學生歸納、概括起來，建立“基礎題型庫”，建立解題、表達的“情境”。

我們知道，學習語言，一個全世界都公認并提倡的好方法，就是建立豐富的語言情境（語境），讓學習者在運用語言的過程中，一旦進入相應的語境中，馬上就有感覺，就能自然而然地運用所學的語言。幾何語言，也可以算是一門“新語言”，要幫助學生提高幾何的解題能力，不能忽視“幫助學生掌握幾何語言”這一環節，而這恰恰是我們很多數學老師忽略的環節。

建立“基礎題型庫”，就是幫助學生建立幾何語言的“語境”。一旦學生進入到相應題型中，就像進入特定的“語境”中，這對學生的解題有很大的幫助。

比如，在學習“角平分線”和“平行的性質與判定”的內容后，有一道這樣的題目：

如圖2所示，已知∠1=∠2，AC平分∠BCD，試說明DC∥AB。

變式一：如圖所示，已知DC∥AB，AC平分∠BCD，試說明∠1=∠2。

變式二：如圖所示，已知DC∥AB，∠1=∠2，試說明AC平分∠BCD。

圖2

這是一個基礎題型。

學到“三角形的外角”時，有這樣一道題目：

如圖3，BE是△ABC的角平分線，DE∥BC交AB于點D，∠A=126°，∠BED=14°，求∠BEC的度數。

圖3

題目所要求的∠BEC是△ABE的一個外角，即∠BEC=∠A+∠1

分析到這里，學生知道只要求出∠1，題目得解，這時，老師把AD、AE、CE擦掉，上述基礎題型的變式一就呈現出來，學生進入熟悉的“情境”中解題.

學到“等腰三角形的判定時”，有這樣一道題目：

如圖4，在△ABC中，AB=AC，過∠ABC和∠ACB的平分線的交點O作DE∥BC，交AB與點D，交AC于點E，則圖中共有_____個等腰三角形，他們分別是_____。

圖4

其中，在判定△DBO和△ECO是等腰三角形時，圖形的左、右兩邊各呈現了上述基礎題型的變式一，學生再次進入熟悉的“情境”中解題。

學到 《四邊形》中的 《矩形》，結合折疊，是一個常規的問題情境，有一道題如下：

如圖5，已知長方形ABCD，沿對角線AC把△DAC翻折，使點D落在點D′處，AD′于BC交于點E。

圖5

①試判斷△AEC的形狀，并說明理由；

②已知AB=4cm，AD=8cm，求BE的長。

通過觀察知道，△AEC應該是個等腰三角形，要證明這一結論，需要證明∠1=∠2，條件“折疊”轉換為“∠1=∠3”（等同于條件“角平分線”），條件“矩形”轉換為“AD∥BC”，上述基礎題型的變式一又呈現出來，學生在熟悉的“情境”中解決新的問題。

學到“圓”，有這樣一道題目：

如圖6，AB是⊙O的直徑，點D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，連接AC，則∠DAC=_________。

圖6

條件“⊙O”轉換為“OA=OC”進一步得到“∠1=∠2”，把圓擦掉，呈現出上述基礎題的變式二，學生又進入到熟悉的“情境”中解決新問題。

三、反思

當筆者從初一到初三完成一個循環后再回到初一，筆者意識到：要想幫助學生擺脫“茫茫題海”，要想幫助盡可能多的學生在數學學科體會到成功，幫助學生建立“腦海中有序的知識框架”很重要，怎么建立、怎么檢測，則是主要問題，于是，筆者進行了以上的嘗試，也取得了一定的成績，但還有許多地方做得不盡如人意，還需要不斷努力學習，不斷深入探索，不斷改進、完善。

[1]劉兼,孫曉天.數學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社,2014.

[2]G·波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社,2011.

[3]俞平.數學教育心理學[M].南寧：廣西教育出版社,2004.

（編輯：張 婕）

G633.63

A

1671-0568（2016）33-0096-02

李麗敏，中學數學一級教師，廣東省中山市博愛初級中學，研究方向：課堂有效教學。