對圓錐曲線一個統(tǒng)一性質(zhì)的再思考

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對圓錐曲線一個統(tǒng)一性質(zhì)的再思考

北京市陳經(jīng)綸中學(100020)王小平張留杰

文[1]中給出了圓錐曲線的一個漂亮的統(tǒng)一性質(zhì)：

性質(zhì)若圓錐曲線E上某點P的法線與對稱軸(拋物線指對稱軸，雙曲線指實軸，橢圓指長軸)交于點G，過點G作焦半徑的垂線l，垂足為L，則PL的長度為圓錐曲線的正焦弦長的一半．

筆者發(fā)現(xiàn)，借助圓錐曲線的光學性質(zhì)可以對此性質(zhì)進行簡證，并且還可以將結(jié)論更加完善，現(xiàn)與大家分享．

性質(zhì)1如圖1，若拋物線y2=2px(p>0)上一點P的法線與x軸交于點G，過點G作焦半徑PF的垂線，垂足為L．則PL=p．

圖1

證明：設拋物線的準線交x軸于點H，過點P作直線PQ∥x軸，交拋物線的準線于點D，連結(jié)DF．∵PG為法線，由拋物線的光學性質(zhì)，得∠GPF=∠GPQ，又∠GPQ=∠FGP，∴∠GPF=∠PGF，∴FP=FG．由拋物線的定義得FP=PD，∴FG=PD，∴四邊形FGPD為平行四邊形，∴GP=FD，又∠GPL=∠PGF=∠DFH，∠GLP=∠DHF=90°，∴Rt△GPL≌Rt△DFH，∴PL=FH=p．

圖2

同理，在雙曲線中也可以得到：

圖3

(類比性質(zhì)2，結(jié)論不難證明，讀者可以自行完成．)

綜合性質(zhì)1,2,3可得：

圓錐曲線的一個優(yōu)美性質(zhì)

(1)若有心圓錐曲線E上一點P的法線與經(jīng)過焦點的對稱軸交于點G，與另一條對稱軸交于點M，過點G、M分別作焦半徑PFi(i=1,2)所在直線的垂線，垂足分別為L、N，則線段PL等于圓錐曲線的正焦弦的一半，PN等于圓錐曲線的長軸(雙曲線時為實軸)的一半．

(2)拋物線C上一點P的法線與其對稱軸交于點G，過點G作焦半徑的垂線，垂足為L，則PL等于拋物線的正焦弦的一半(或者拋物線的焦準距)．

參考文獻

[1]劉立偉.圓錐曲線中一組漂亮的統(tǒng)一性質(zhì).數(shù)學通訊，2012(9)(下半月)．

[2]圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用.普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學(選修2-1)》A版，第75頁.人民教育出版社．2012.6.