多角度分析“雙變量函數”問題的求解策略

鄒景斌 朱賢良

(1.安徽省銅陵市第三中學 244000；2.安徽省樅陽縣宏實中學 246700)

近些年來，“雙變量函數”問題在高考或模考中備受青睞，屢見不鮮，成為高考與模考命題的常見角度，因而成為學優生力求攻克的難點.此類問題涉及的知識面較廣、綜合性較強、解法靈活，其求解過程中滲透著函數與方程、轉化與化歸、分類討論以及數形結合等數學思想，因此此類問題能較好地評價學生的思維能力與應變能力.面對這類問題，很多學生常常是束手無策、繳械投降，或者無法正確轉化、漏洞百出.

前段時間，筆者認真分析研究了高考與模考中的雙變量試題，對此類問題的處理策略進行了歸納與整理，并在所帶班級上了一節雙變量函數問題的高三復習課，反響很好，并在課后檢測中也得到了極好的反饋.本文以一道典型的模考試題為例，對雙變量函數問題的求解思路作一全面分析，并整理如下，供讀者朋友研討與交流.

題目(2021屆江淮創新聯盟高三第二次聯考·理22)已知函數f(x)=2bx-xea-x的圖象在(-1,f(-1))處的切線方程為y=2(e-1)x-1.

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)設關于x的方程ex-mx=0的兩根為x1，x2,證明：x1+x2>2.

本文主要是從第二問分析此類雙變量函數的解決策略，故第一問不做解釋.

一、一題四法：從不同視角不同的處理方法攻克“雙變量函數”問題

題中證明x1+x2>2是十分常見的試題類型，學優生對此應該不會陌生，比如2016年高考全國課標卷理科第21題即為同類問題：

已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：:x1+x2<2.

此高考試題可供讀者朋友研究，我們先從不同角度對上述聯考試題進行分析.

1.靈活整理代換，變量巧妙歸一

在本題中，由ex1-mx1=0和ex2-mx2=0可以得到

mx1=ex1

①

mx2=ex2

②

兩式相加，可得m(x1+x2)=ex1+ex2

③

兩式相減，可得m(x1-x2)=ex1-ex2

④

要證明x1+x2>2，只需證明

點評上述求解過程求解的關鍵一步在于巧妙減元，令x1-x2=t之后，思路清晰易理解，因而如何巧妙地將變量歸一才是上述思路的精髓所在.

2.直接換元代換，消減變量歸一

由題意，可得mx1=ex1

④

mx2=ex2

⑤

⑥

3.構造無參函數，化為函數單調

此方法也是一種非常常見的招數，先設法將兩個變量x1,x2統一成x1或x2，再構造函數，借助函數的單調性實現證明.

x(-?,0)(0,1)1(1,+?)g'(x)--0+g(x)↘↘e↗

要證明x1+x2>2，只需要證明g(x2)>g(2-x1)，而g(x1)=g(x2)，故只需證明g(x1)-g(2-x1)>0.

綜上所述，g(x1)-g(2-x1)>0，即x1+x2>2.

點評以上解法是通過等價轉化變形，使需要解決的問題等價化歸轉化為函數單調性的問題，從而實現求解.參考上述思路，也可以對稱構造函數F(x)=g(1+x)-g(1-x)來進行求解，方法類似，在此不加贅述.

4.借平均不等式，快速化繁為簡

在思路三中已經詳細分析了x1,x2∈(0,+∞)且m>0，在下面解法中不再重復詳細說明.

點評要證明x1+x2>2，就是證明式子中暗藏的不等關系，而通過重要不等式、基本不等式、對數平均不等式、柯西不等式等都可以體現式子中深層次的不等關系.解題時要善于觀察，靈活多變地借用經典不等式來快速解題，做到大道至簡，直擊問題本質.

二、解題啟示：刷百題不如透解一題

在解題教學中，筆者堅持“刷百題不如透解一題”這一信念.無論是在日常的備課還是課堂教學中，筆者都不自覺地思考是否還有其它的方法與思路來求解試題.對于經典試題，教師非常有必要引導學生從不同的角度進行思考，尋求多種多樣的解法，讓學生不盲從參考答案的方法，這樣可以讓各種思想在碰觸中產生火花，激發學生的求知欲望，加速培養學生的發散思維，從而培養學生良好的思維品質，發展創造性思維.

總之，在平時的教與學中，如果我們能抓住看似普通的典型題目，站在數學思想和方法的高度，以培養思維能力和創新能力為目標，多角度、多方位分析和優化解法，必能以一題破萬題，從而有效地減輕學習負擔，提高學習效率.