“平行四邊形的面積”教學(xué)紀(jì)實與評析

于鴻儒　周莓

教學(xué)內(nèi)容：人教版五年級上冊第六單元 “平行四邊形的面積”。

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過理解平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)過程，掌握平行四邊形的面積公式，并能運用公式解決簡單的實際問題。

2.通過動手操作、觀察、猜想、驗證等數(shù)學(xué)活動過程，探索平行四邊形面積公式的推導(dǎo)方法，體驗轉(zhuǎn)化和等積變換的數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念。

3.在動手實踐、自主探究與合作交流中做數(shù)學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)，體會解決實際問題的樂趣。

教學(xué)重點：探索并掌握平行四邊形面積計算公式，并能正確運用公式解決問題。

教學(xué)難點：理解和完整表述平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)過程，體會轉(zhuǎn)化和等積變換的思想。

教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件，平行四邊形。

教學(xué)過程：

一、游戲?qū)耄ぐl(fā)興趣

師：聽說咱們五年二班的同學(xué)特別愛動腦，我們做個游戲，每一個小格代表1平方厘米，誰能說出不規(guī)則圖形的面積？（課件出示一個適合數(shù)格子算面積的不規(guī)則的圖形。）

生：第一幅圖的面積是12平方厘米。

師：你是怎么得出結(jié)論的呢？

生：我是數(shù)格子數(shù)出來的。

（課件出示另一個適合割補法求面積的圖形。）

生：這個箭頭的面積是12平方厘米。

師：你又是用什么方法算出來的呢？

生：我是用數(shù)格子的方法。

師：你也很善于觀察。誰還有其他方法？

生：我是把這一部分剪掉移到另一邊，拼成一個長方形，然后求長方形的面積。

師：為什么要轉(zhuǎn)化成長方形呢？

生：因為長方形的面積等于長乘寬，把它拼成長方形我就會求了。

師：你們可真聰明，想到解決新問題的方法，太棒啦！同學(xué)們都知道長方形的面積等于長乘寬，還知道長方形是特殊的平行四邊形。那么，平行四邊形的面積到底該怎么計算呢？這節(jié)課我們就來共同研究平行四邊形面積的計算方法。（板書，出示課件。）

二、觀察猜想，探究驗證

（課件出示平行四邊形。）

師：同學(xué)們猜想一下，平行四邊形的面積可以怎么計算呢？

生： 我覺得平行四邊形的面積可能等于鄰邊相乘。

師：看來你是從長方形面積的計算方法來想的。

生：我猜平行四邊形的面積有可能等于底乘高。

師：猜測是偉大發(fā)現(xiàn)的開始，數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹?shù)膶W(xué)科，猜測是否正確，需要我們來動手驗證。現(xiàn)在請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備的平行四邊形卡片，小組同學(xué)一起驗證這兩種猜想是否正確。（教師深入，與學(xué)生共同操作。）

三、全面交流，探究提升

1.明確平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的過程及對應(yīng)關(guān)系。

師：誰愿意向大家完整地介紹一下你們組的探究思路？

生：我們組是把平行四邊形沿著高，剪下一個三角形，把它挪到另一側(cè)，然后拼成一個長方形，所以平行四邊形的面積就等于底乘高。

師：哦，三角形怎樣挪的，演示給大家看。（學(xué)生演示。）

師：誰能準(zhǔn)確、完整地把你們組的操作和思考過程表述清楚呢？

生：我們組用的是割補法，把平行四邊形沿著高剪下來一個三角形，平移到另一側(cè)，然后拼成一個長方形。這個長方形的長就是平行四邊形的底，長方形的寬就是平行四邊形的高。因為長方形的面積等于長乘寬，所以平行四邊形的面積就等于底乘高。

師：這個同學(xué)說得很有層次，很完整。我建議把他說的“就是”這個詞換成“相當(dāng)于”這個詞。（教師邊說邊演示上述文字投影。）同學(xué)們自己說說采用割補法的操作過程。（學(xué)生說。）

師：哪個組和這個組有不同想法？

生：我們組第一步和他們一樣，后面不一樣，長方形的長相當(dāng)于平行四邊形的高，長方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的底，長方形面積等于長乘寬，所以平行四邊形的面積就等于高乘底。

師：為什么？請到前面用投影演示。大家認真觀察，發(fā)現(xiàn)了什么？

生：平行四邊形底比高長時，轉(zhuǎn)化后長方形的長相當(dāng)于平行四邊形的底，長方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的高。

生：平行四邊形高比底長時，轉(zhuǎn)化后長方形的長相當(dāng)于平行四邊形的高，長方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的底。

生：雖然長方形的長、寬和平行四邊形的底、高的對應(yīng)有變化，但是，求平行四邊形的面積就是底和高相乘的關(guān)系。高乘底和底乘高是一樣的結(jié)果。

師：平行四邊形高和底的線段長短關(guān)系不同，轉(zhuǎn)化后圖形各部分對應(yīng)關(guān)系也相應(yīng)地變化，要注意觀察高和底的位置。求平行四邊形的必要條件就是要知道它的底和高。

師：還有其他的轉(zhuǎn)化方法嗎？按著這個過程向大家說清楚。（師指前面的文字投影。）

生：我們是沿著平行四邊形另外一條“高”剪的，剪成了兩個直角梯形，把當(dāng)中的一個平移過來也拼成了一個長方形。這個長方形的長就是平行四邊形的底，長方形的寬就是平行四邊形的高。因為長方形的面積等于長乘寬，所以平行四邊形的面積就等于底乘高。

2.探討圖形轉(zhuǎn)化的依據(jù)及思路。

師：為什么都是沿著平行四邊形的高剪再轉(zhuǎn)化成長方形？

生：長方形有四個直角，只有沿著高剪，才能出現(xiàn)直角，才能想辦法把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。

師：那平行四邊形有多少條高呢？

生：無數(shù)條。

師：那可以有多少種剪拼的方法呢？

生：無數(shù)種。

師：下面在小組里，仔細觀察剛才操作的卡片，互相交流，說說你發(fā)現(xiàn)了什么。

生：我發(fā)現(xiàn)，這么多剪拼方法，可以分成兩種思路，一種是剪成一個三角形和一個直角梯形，再轉(zhuǎn)化為長方形。另外一種是剪成兩個直角梯形，再轉(zhuǎn)化為長方形。（投影，沿著行四邊形不同位置的高，剪開，平移，轉(zhuǎn)化成長方形。）

師：同學(xué)們會觀察、會操作、會思考。請大家打開數(shù)學(xué)書第87頁，觀察圖形轉(zhuǎn)化的過程，自己說一說。

3.深入探究，總結(jié)公式。

師：再拿出桌上的綠色平行四邊形卡片，底用字母a表示，高用字母h表示，面積用字母S表示。進行割補、平移，轉(zhuǎn)化為長方形，你能用字母表示出它的面積公式嗎？它的底是8厘米，高是6厘米，你能算出它的面積嗎？能證明你總結(jié)的公式正確嗎？自己操作，計算，然后同桌交流。（投影出示這3個問題。教師巡視、指導(dǎo)，參與探究。）

師：相信大家能完整地說明平行四邊形的面積字母公式。想一想，怎么說？

生：用S表示平行四邊形的面積，a表示平行四邊形的底，h表示平行四邊形的高，平行四邊形的面積字母公式就是S=ah。（教師板書公式。）

生：這個平行四邊形的面積是底乘高，8乘6等于48平方厘米。

師：正確嗎？說說理由。

生：這是原來的平行四邊形，轉(zhuǎn)化成長方形，是同一塊紙張，圖形的平面大小一樣，面積就一樣。

生：它轉(zhuǎn)化成的長方形，面積是長乘寬，8乘6等于48平方厘米，和原來的平行四邊形面積相等。

師：同學(xué)們能用轉(zhuǎn)化關(guān)系來說明，又能用轉(zhuǎn)化后的長方形面積計算的數(shù)據(jù)來說明，從不同思路出發(fā)證明了平行四邊形的面積公式。

4.驗證猜想，檢驗公式。

師：下面來計算我們開始時猜想的平行四邊形的面積，用鄰邊相乘，再用底乘高，哪個結(jié)果是正確的？什么理由？

生：求平行四邊形的面積用底乘高的方法正確。因為平行四邊形的底是6厘米，高是3厘米，面積是18平方厘米，它有18個1平方厘米的小方格。

生：用鄰邊相乘是錯的。因為鄰邊相乘，4乘6等于24平方厘米。實際它的面積是18個1平方厘米，數(shù)據(jù)和實際不一樣。

師：再一次證明同學(xué)們探究出的平行四邊形的面積公式是正確的。下面請同學(xué)們打開數(shù)學(xué)書，認真默讀第86頁和第87頁，把你認為重點的部分標(biāo)記出來。

四、實踐應(yīng)用，解決問題

1.基本練習(xí)。（ 強調(diào)書寫格式以及字母公式的帶入過程。）

（1）把你們準(zhǔn)備的平行四邊形卡片，同桌交換，計算出面積。

（2）平行四邊形花壇的底是8米，高是5米，它的面積是多少？

2.鞏固練習(xí)。（會靈活運用公式。）

計算平行四邊形的面積。

3.變式練習(xí)。

面積是24平方厘米的平行四邊形，它的底和高分別可能是多少？

4.提升練習(xí)。

比較3個平行四邊形面積的大小。猜猜它們面積的大小。量量各自的底和高并計算，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能畫出多少個和他們面積相等的平行四邊形呢？ 可以劃分成幾種思路？（同底等高，等底等高。）

五、數(shù)學(xué)文化、提升素養(yǎng)

師：同學(xué)們，你們知道嗎，剛才你們用來驗證平行四邊形面積公式的方法，竟然和我國的古代偉大的數(shù)學(xué)家想法一致呀！早在我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》中都有提出。這種方法叫出入相補原理，所謂的出入相補原理就是：一個平面圖形從一處移置他處，面積不變。希望你們帶著自己的方法和收獲繼續(xù)徜徉在數(shù)學(xué)的王國里！

評析：

本節(jié)課，教師立足于整體，落實《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求，從學(xué)習(xí)幾何圖形的實際出發(fā)，以“假設(shè)（猜想）——動手實驗——推導(dǎo)——概括——應(yīng)用”的教學(xué)步驟，使學(xué)生在充滿生命力的學(xué)習(xí)中全面成長。教學(xué)特點如下：

一、 動手操作，豐富“直觀”體驗，奠定“推理”基礎(chǔ)

本節(jié)課以動手操作為載體來豐富學(xué)生對平行四邊形的體驗，為推出面積的計算公式奠定基礎(chǔ)。如，學(xué)生進行課前學(xué)習(xí)用具的準(zhǔn)備，每個人制作多張平行四邊形的操作卡片，直觀再現(xiàn)了學(xué)生原有相關(guān)的經(jīng)驗；再如，第一次進行小組探究學(xué)習(xí)操作的平行四邊形，有常見的平行四邊形，還有菱形的；有高的長大于底的長，也有底長大于高的，使學(xué)生獲得對平行四邊形轉(zhuǎn)化中的全面體驗；又如，在推導(dǎo)出平行四邊形面積公式的操作中，學(xué)具卡是用畫著一平方厘米方格的面積單位紙制作的，上既有字母標(biāo)注，又有數(shù)據(jù)標(biāo)注，使學(xué)生獲得了數(shù)、形、字母、平面面積等多層直觀體驗。學(xué)生所進行的操作內(nèi)容蘊含著進行推理的豐富素材。

二、 探究交流，提煉“直觀”認知，學(xué)習(xí)“推理”思維

此課重視動手操作后的探究交流活動。重視體現(xiàn)“推理”思維，學(xué)生憑借對平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形操作過程的直覺、體驗，推出它們之間的聯(lián)系，體會出平行四邊形與長方形面積的計算方法的聯(lián)系，最后總結(jié)出公式。在探究平行四邊形高和長的不同的長度關(guān)系時，找到了求平行四邊形面積的必要條件。在總結(jié)公式環(huán)節(jié)，先合情推理，再總結(jié)出平行四邊形面積的字母公式；然后演繹推理，驗證公式是否正確。教學(xué)中教師重視語言表達的環(huán)節(jié)，有效地將“直觀”體驗與邏輯推理融為一體。注意引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)語言表達思考的內(nèi)容；注意指導(dǎo)學(xué)生表達時抓注要點，理清層次；注意操作、表達互動、說做結(jié)合。

三、 閱讀教材，提升“直觀”體驗，感悟“推理”方法

引導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)教材，是提升“直觀”體驗，感悟“推理”方法的重要途徑，也是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的重要途徑。此課第一次是默讀教材轉(zhuǎn)化部分的圖形。這是體現(xiàn)割補、平移過程的平面圖，是從實物操作抽象為觀察圖形操作圖，也是學(xué)生視圖的難點。學(xué)生邊看邊說，利于空間概念的形成。第二次閱讀教材是總結(jié)出計算公式后，這是較系統(tǒng)地理順本課知識機構(gòu)關(guān)系，感悟?qū)嶒灐⑼评淼姆椒?/p>

四、 鞏固與拓展，積累“直觀”經(jīng)驗，提高“推理”能力

第一題重視基礎(chǔ)性、規(guī)范性、參與性，一部分題目來自學(xué)生課前設(shè)計的圖形卡片。第二題摒除定式思維，啟迪靈活思維、自主思維。同一個平行四邊形，兩個不同的底，對應(yīng)做出兩個不同的高，計算后面積不變。第三題突出逆向思維的發(fā)展，發(fā)現(xiàn)在平行四邊形面積一定時，底和高的變化關(guān)系。第四題突出思維的廣闊性及深刻性的發(fā)展。

編輯∕宋 宇