“銳角三角函數”學習要點

王競進

“銳角三角函數”是初中數學重要內容之一，它揭示了直角三角形邊角之間的函數關系.學習本章時，需要抓住以下幾個要點.

一、 認識四個基本概念

本章涉及的基本概念有正切、正弦和余弦以及解直角三角形.

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b分別是∠A的對邊和鄰邊，我們把∠A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA=.

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把∠A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA=.

把∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA=

從正切、正弦和余弦的概念可以看出：在Rt△ABC中，∠C=90°，和的值都隨銳角A的大小變化而變化，也都隨銳角A的確定而惟一確定.

例1 （2015·曲靖）如圖2，在半徑為3的⊙O中，直徑AB與弦CD交于點E，連接AC，BD. 若AC=2，則cosD=_______.

【解析】連接BC，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，cosA∵∠D=∠A，

∴cosD=cosA=，所以本題答案為.

【說明】本題應用圓周角的性質將∠D轉化為∠A，使其轉化到直角三角形ABC中，再應用余弦的概念求得結果.

由直角三角形的邊、角中的已知元素，求出所有邊、角中的未知元素的過程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外的5個元素，至少知道包含1條邊的兩個元素就可以確定直角三角形中其余未知元素的值.

例2 如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC平分線，AD=20.求AB的長.

【說明】本題借助銳角三角函數的概念，使問題化歸到直角三角形中，應用直角三角形的邊角之間的函數關系，根據問題中的已知元素求得未知元素.

二、 熟記三個特殊值

利用特殊的等腰直角三角形和含有30°角的直角三角形的性質，我們可以求得30°、45°、60°的三角函數值（如下表）.

從表格中我們可以發現：sin30°、sin45°、sin60°值的分母都是2，分子可以看成是、、，正弦值隨角度的增大而增大；cos30°、cos45°、cos60°值的分母都是2，分子可以看成是、、，余弦值隨角度的增大而減??；tan30°·tan 60°=tan45°=1，正切值隨角度的增大而增大.

例3 （2015·武威）已知α，β均為銳角，且滿足sinα-+=0，則α+β=______.

【解析】∵sinα-+=0，

可得：sinα-+tanβ-1=0，

∴sinα=，tanβ=1，

∴α=30°，β=45°，

∴α+β=75°，所以本題答案為75°.

【說明】本題是一道考查同學們對特殊角的三角函數值和非負數的性質掌握的問題，解答這類問題，需要同學們熟練掌握特殊角的三角函數值.

三、 掌握銳角三角函數解決實際問題

解直角三角形的知識廣泛應用于測量之中，主要用于計算距離、高度和角度.

例4 （2015·衡陽）如圖4，為了測得電視塔的高度AB，在D處用高為1米的測角儀CD測得電視塔頂端A的仰角為30°，再向電視塔方向前進100米到達F處，又測得電視塔頂端A的仰角為60°，則這個電視塔的高度AB（單位：米）為（ ）.

A. 50 B. 51

C. 50+1 D. 101

【解析】根據題意可知：

∠ACE=30°，∠AEG=60°，CE=DF=100（米）.

我們不妨設EG=x米，在Rt△AEG中，

∵∠AEG=60°，

∴AG=x；

在Rt△ACG中，

∵AG=x，∠ACE=30°，

∴CG=x·=3x.

∵CE=DF=100，

∴x+100=3x，解得x=50，

∴這個電視塔的高度AB=AG+GB=50+1（米），所以本題答案為C.

【說明】本題以測電視塔的高度為背景，考查解直角三角形的應用能力，求解時抓住圖形中兩個直角三角形的公共邊建立相等關系式是解題的關鍵.

例5 （2015·遵義）如圖5，是某兒童樂園為小朋友設計的滑梯平面圖.已知BC=4米，AB=6米，中間平臺寬度DE=1米，EN、DM、CB為三根垂直于AB的支柱，垂足分別為N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC于F，∠CDF=45°，求DM和BC的水平距離BM的長度.（結果精確到0.1米，參考數據：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

【解析】設BM為x米，則DF=BM=x.

∵Rt△CFD中，∠CDF=45°，

∴CF=DF·tan45°=DF=x，

∴BF=BC-CF=4-x，

∴EN=BF=4-x.

∵Rt△ANE中，∠EAN=31°，

∴AN=≈=（4-x）.

∵AN+MN+BM=AB，MN=DE=1，

∴（4-x）+1+x=6，解得x=2.5.

答：DM和BC的水平距離BM的長度約為2.5米.

【說明】本題是一道典型的解直角三角形的應用問題，需要把實際問題轉化為數學模型來解決.解決與直角三角形有關的應用題最常用的方法是作垂線，構造直角三角形，根據所給數據，選用恰當的三角函數求出有關的量或用含有未知數的式子表示有關的量進行求解.

（作者單位：江蘇省建湖縣匯文實驗初中教育集團匯文校區）