以課本習題為背景的中考題

劉頓

蘇科版《數學》九年級下冊第121頁第14題：

如圖1，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距60 m，在建筑物的頂部測得鐵塔底部的俯角為30°，測得鐵塔頂部的仰角為45°，求鐵塔的高度.（精確到1 m）

【分析】若設過點A的水平線與CD交于點E，由建筑物AB與鐵塔CD相距60 m，鐵塔頂部的仰角為45°，可以構造出等腰直角三角形，即塔比建筑物高60 m，從建筑物的頂部測得鐵塔底部的俯角為30°，從而利用正切求出建筑物的高度，進而得到鐵塔高度.

解：設過點A的水平線與CD交于點E，

由題意，得∠AEC=∠AED=90°，

∠CAE=45°，∠DAE=30°，AE=BD=60（m），

∴CE=AE=60（m）.

在Rt△AED中，

∴AB=DE=AE·tan30°

=60×=20（m）.

∴CD=CE+AB=60+20≈95（m）.

答：鐵塔CD的高度為95 m.

【評析】這是一道典型的銳角三角函數應用題，它的原題或模型出現在各個版本的教科書和資料中，不僅如此，它的原題或模型還頻頻出現在中考試卷中.為方便同學們的學習，現歸納幾例，供參考.

一、 簡單改變有關數據

例1 （2015·安徽）如圖2，平臺AB高為12米，在B處測得樓房CD的仰角為45°，底部點C的俯角為30°，求樓房CD的高度.（≈1.7）

【分析】過點B作BE⊥CD于點E，構造直角三角形，先求CE，DE，再求CD及近似值.

解：過點B作BE⊥CD于點E，

在Rt△EBC中，

∵tan30°=，CE=AB=12，

∴BE==12，

在Rt△BDE中，

∵tan45°=，

∴DE=BE=12，

∴CD=CE+DE=12+12≈32.4（米）.

答：樓房CD的高度約為32.4米.

【點評】此類問題容易出錯的地方是：一是不能把實際問題轉化為幾何問題；二是特殊角三角函數值記憶錯誤.如果能聯想到課本習題，我們將十分容易地找到解決問題的切入點.

二、 求兩幢建筑物之間的距離

例2 （2015·昆明）如圖3，兩幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15 m，CD=20 m，AB和CD之間有一景觀池，小南在A點測得池中噴泉處E點的俯角為42°，在C點測得E點的俯角為45°（點B、E、D在同一直線上），求兩幢建筑物之間的距離BD.（結果精確到0.1 m，參考數據：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

【分析】分別在Rt△ABE和Rt△DEC中，利用∠AEB和∠DEC的正切求得BE和DE的長，再相加即可.

解：由題意，得∠AEB=42°，∠DEC=45°.

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴在Rt△ABE中，∠ABE=90°.

∵tan∠AEB=，AB=15，∠AEB=42°，

∴BE=≈=.

在Rt△DEC中，∠CDE=90°，

∠DEC=∠DCE=45°，CD=20，

∴ED=CD=20，

∴BD=BE+ED=+20≈36.7（m）.

答：兩幢建筑物之間的距離BD約為36.7m.

【點評】由課本習題的求解策略，將實際問題轉化成解直角三角形問題，理解仰角、俯角的定義，是解答此類題目的前提.另外，熟記特殊角的三角函數值，學會利用適當的三角函數關系式求解，是解答此類題目的必要條件.

三、 從其中的一幢建筑物中間觀測另一幢建筑物

例3 （2015·臨沂）小強從自己家的陽臺上，看一棟樓頂的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，小強家與這棟樓的水平距離為42 m，這棟樓有多高.

【分析】如圖4，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD、∠α和∠β已知，分別解直角三角形，求出BD、CD，它們的和就是樓高.

解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，

∴△ABD和△ACD都是直角三角形.

在Rt△ABD中，

∵tanα=，∠α=30°，AD=42（m），

∴BD=42×=14（m）.

在Rt△ACD中，

∵∠β=60°，tanβ=，

∴CD=42×tan60°=42（m）.

即BC=BD+CD

=14+42=56（m）.

答：樓高為56 m.

【點評】在直角三角形中，知道了一個銳角和至少一條邊，就可以利用銳角三角函數和勾股定理，將其余的角和邊求出來，這就是解直角三角形的一般思路.

四、 一建筑物改換成懸在半空的氣球

例4 （2015·呼和浩特）如圖5，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟高樓頂部B的仰角為30°，看這棟高樓底部C的俯角為65°，熱氣球與高樓的水平距離AD為120 m，求這棟高樓的高度.（結果用含非特殊角的三角函數及根式表示即可）

【分析】根據題意，得AD⊥BC，分別在Rt△ABD、Rt△ACD中結合已知條件利用正切函數的定義求出BD、CD的長，然后相加即得這棟高樓的高度.

解：依題意，在Rt△ABD中，

∵∠BAD=30°，tan30°=，

∴BD=AD·tan30°=120×=40.

在Rt△ACD中，

∵∠CAD=65°，tan65°=，

∴CD=120·tan65°.

∴BC=BD+CD=40+120·tan65°.

答：這棟高樓的高度為（40+120·tan65°） m.

【點評】此類問題容易出錯的地方是在Rt△ABD、Rt△ACD中誤用正弦、余弦函數求BD、CD的長.

五、 兩建筑物之間加入第三種物體

例5 （2015·涼山）如圖6，在樓房AB和塔CD之間有一棵樹EF，從樓頂A處經過樹頂E點恰好看到塔的底部D點，且俯角α為45°，從距離樓底B點1米的P點處經過樹頂E點恰好看到塔頂部C點，且仰角β為30°，已知樹高EF=6 m，求塔CD的高度.（結果保留根號）

【分析】依題意可先在Rt△EPH中，求出PH，然后根據△EFD為等腰直角三角形求出FD，也就是HG的長，從而得到PG的長，再通過Rt△PCG，求出CG的長，進而能得到DC的長.

解：由題意，得∠ADB=∠α=45°，

PB=HF=GD=1（m）.

∵EF=6（m），∴EH=5（m）.

在Rt△EPH中，

∵∠β=30°，EH=5（m），

∴PH=·EH=×5=5（m）.

在Rt△EFD中，∠EDF=45°，EF=6（m），

∴FD=FE=6（m），

∴HG=FD=6（m），

∴PG=PH+HG=（5+6） m.

在Rt△CPG中，CG=PG·tanβ=（5+6）×=（5+2） m，

∴CD=CG+GD=（6+2） m.

答：塔CD的高度為（6+2） m.

【點評】解直角三角形問題，有圖的要先將題干中的已知量在圖中表示出來，再根據以下方法和步驟解決：①根據題目中的已知條件，將實際問題抽象為解直角三角形的數學問題，畫出平面幾何圖形，弄清已知條件中各量之間的關系；②若三角形是直角三角形，根據邊角關系進行計算，若三角形不是直角三角形，可通過添加輔助線構造直角三角形來解決.

六、 將問題變換成生活用品

例6 （2015·岳陽）如圖7是放在水平地面上的一把椅子的側面圖，椅子高為AC，椅面寬為BE，椅腳高為ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED.從點A測得點D、E的俯角分別為64°和53°.已知ED=35 cm，求椅子高AC約為多少？

（參考數據：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）

【分析】利用已知條件判定四邊形BCDE是矩形，得BE=CD.分別在Rt△ABE和Rt△ACD中，利用正切表示出AB、BE以及AC、CD的關系，利用BE=CD建立關于AC的方程，即可求解.

解：∵AC⊥BE，AC⊥CD，

∴∠ACD=∠ABE=90°.

∵AC∥DE，

∴∠CDE=180°-∠ACD=180°-90°=90°，

∴四邊形BCDE是矩形，

∴BC=DE=35（cm），BE=CD.

在Rt△ABE中，∠AEB=53°，

∴BE===，

在Rt△ACD中，∠ADC=64°，

∴CD===，

∴=，解得AC=105（cm）.

答：椅背AC高約105 cm.

【點評】利用解直角三角形來解決生活中的實際問題，是初中數學的重要內容，也是中考命題的熱點之一.解決這類問題，關鍵是要將實際問題中的數量關系歸結為直角三角形中元素間的關系，即把實際問題抽象成數學模型（構造直角三角形），然后根據直角三角形邊、角以及邊角關系求解.解題時應注意弄清仰角、俯角、水平距離、坡度（坡比）、坡角等概念的意義，認真分析題意，觀察圖形（或畫圖）找出要解的直角三角形，選擇合適的邊角關系式計算，并按照題中要求的精確度確定答案，注明單位.在一些問題中，如斜三角形問題，要根據需要添加輔助線，構造出直角三角形，從而轉化為解直角三角形的問題.解題時方法要靈活，選擇關系時盡量考慮用原始數據，減小誤差.

（作者單位：江蘇省射陽縣阜余初級中學）