例析格點圖形背景下的銳角三角函數

王競進

問題 如圖1，在網格中，小正方形的邊長均為1，點A、B、C都在格點上，則∠ABC的正切值是（ ）.

A. 2 B.

C. D.

【分析】本題是2015年山西省的一道中考試題，以格點為問題背景構造一個銳角，考查同學們對銳角三角函數概念的理解、掌握和靈活應用.由于題中給出了點A、點B和點C，因此先不考慮取其它點，而是利用現成的點，嘗試連接AC，從圖形的直觀性上初步判斷∠BAC可能是直角，再用勾股定理及其逆定理進行驗證，最后根據正切的定義計算即可.

【解答】如圖2，連接AC.

由勾股定理得：

AB2=22+22=8，AB=2，

AC2=12+12=2，AC=，

BC2=12+32=10，

∴AB2+AC2=8+2=10=BC2，

∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，

∴tan∠ABC===.

因此，本題應該選D.

【感悟】要求以格點為背景的銳角三角函數值，我們仍然要根據銳角三角函數的概念，使所求的銳角化歸到直角三角形中加以解答.有的銳角可以直接放到一個直角三角形中，有的銳角需通過構造一個直角三角形，使其成為這個直角三角形的一個銳角，也有的銳角借助與其所在的三角形全等或相似的三角形進行轉化，成為另一個直角三角形的一個銳角，再加以解答.現再舉幾例供大家學習、參考，以期同學們形成良好的解題策略.

例1 如圖3，將∠AOB放置在5×5的正方形網格中，則tan∠AOB的值是（ ）.

A. B.

C. D.

【解析】觀察圖3，可以發現∠AOB的一邊OB恰好在這個正方形網格的網格線上，可直接過點A作OB的垂線AC，垂足為C，即可構造直角三角形（如圖4），因此，tan∠AOB==.所以，本題應該選B.

【點評】本題中設置的∠AOB沒有放到一個三角形中，解答時要能夠抓住角的一邊所在的特殊位置構造直角三角形，并應用正切概念求得結果.

例3 （2015·樂山）如圖5，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【解析】設圖5中的小正方形的邊長為1，因而這是一個5×5的正方形網格， 線段AC為其中3×3的正方形網格的對角線，設其過1×1的正方形網格的一個頂點D（如圖6），連接BD，則BD又是其中另一個1×1的正方形網格的對角線，所以∠BDC=90°，則∠ADB=90°，且AD=2，AB=，所以cosA==.因此，本題應該選D.

【點評】本題中的∠A原來是在一個鈍角三角形中，借助于網格和角的一邊所在的特殊位置，將這個非直角三角形中的銳角進行巧妙構造，使其成為圖形中一個直角三角形的銳角，最終求得結果.

例4 如圖7，A、B、C三點在正方形網格線的交點處，若將△ACB繞著點A逆時針旋轉得到△AC′B′，則tanB′的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【解析】由題意知道：△AC′B′是△ACB繞著點A逆時針旋轉得到的，根據圖形旋轉的性質，即可知道△AC′B′≌△ACB，所以∠B′=∠B，從而把求tanB′的問題轉化為在△ACB中求tanB.不妨過C點作CD⊥AB，垂足為D，即有tanB′=tanB==.因此，本題應該選B.

【點評】本題能夠巧妙地應用圖形的旋轉性質，將一般圖形中的待求角進行轉化，轉化為與網格具有密切聯系的特殊位置的圖形.

例5 如圖8，△ABC的各個頂點都在正方形的格點上，則sinA的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【解析】設這個網格為4×4的正方形網格.乍一看，銳角∠A不在直角三角形中，且邊AC、AB所在的位置都不是特殊的位置，仔細觀察知道AC為1×2的矩形網格的對角線，則延長AC一定交2×4的矩形網格于點E，連接BE（如圖9），則AE=2，BE=，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA==，因此，本題應該選A.

【點評】本題解答是經歷了構造以∠A為內角的直角三角形的過程，體現了根據圖形位置特征進行探索，對構造圖形是一個直角三角形作出猜想，進而應用勾股定理進行驗證的思維過程.當然，本題還可以借助于圖形中的△ADE∽△EFB來說明△ABE是直角三角形.親愛的同學，你也想到了嗎？可以嘗試自己完成思路.

例6 如圖10，在邊長相同的小正方形組成的網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tan∠APD的值是_______.

【解析】∠APD是AB、CD相交所成的銳角，且CD為1×1的正方形網格的對角線.為了使其成為直角三角形中的一個內角，不妨將CD適當平移使其成為另一個1×1的正方形網格的對角線BE（如圖11），從而將∠APD轉化為∠ABE，在△ABE中，可以通過勾股定理得到∠AEB=90°，所以tan∠APD=tan∠ABE==2.因此，本題應該填：2.

【點評】本題難點在于能夠應用圖形中隱含的線段平行的位置關系，使待求的角進行適當的轉化，轉化到直角三角形中加以解答.

小試身手

1. 正方形網格中，∠AOB如圖12放置，則cos∠AOB的值為（ ）.

A. B.

C. D.

2. 如圖13，方格紙中的每個小正方形都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點.△ABC的頂點都在方格的格點上，則cosA=_______.

參考答案

1. B 2.

（作者單位：江蘇省建湖縣匯文實驗初中教育集團匯文校區）