依據概念活學會用

學習了“銳角三角函數”，我們知道了正切、正弦、余弦等三角函數的概念，和老師還一起探索了30°、45°、60°角的三角函數值.應用探求這些值的方法，我們還能夠將平時經常遇到的15°、36°特殊角放到適當的三角形中，求得它們的三角函數值.

一、 求15°角的三角函數值

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，不妨設∠A=15°，則∠ABC=75°.在∠ABC的內部作∠ABD=15°，∠ABD的一邊BD交AC于點D，則∠BDC=30°，DB=DA.

根據“在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”，可以知道BD=2BC.

設BC=k，則BD=2k，AD=2k.

在Rt△DBC中，∠DCB=90°，

所以CD==k，

AC=AD+CD=（2+）k.

同樣的方法，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

AB==（+）k，

所以sinA==

=，

cosA==

=，

tanA===2-.

因此，我們可以得到15°角的三角函數值為：

sin15°=，

cos15°=，

tan15°=2-.

二、 求36°角的三角函數值

如圖2，在△ABC中，AC=BC，不妨設∠C=36°，則∠ABC=∠CAB=72°.作∠CAB的角平分線AD交BC與點D.

因此∠BAD=∠CAD=36°，則∠C=∠CAD，CD=AD.又∠ADB=∠ABC=72°，則AB=AD，所以CD=AD=AB.由圖形中的∠BAD=∠C=36°，∠B=∠B，根據三角形相似的條件，可以知道其中的△ABC∽△DBA，所以=，即AB2=BC·DB，則CD2=BC·DB.

由此，根據黃金分割點的定義知道點D就是線段BC的黃金分割點，

所以=，=.

設BC=2k，則CD=（-1）k，DB=（3-）k，AC=2k.

過點A作AH⊥BC，垂足為H.由AD=AB，可得DH=k，CH=CD+DH=k.

在Rt△ACH中，∠AHC=90°，

AH==k，

所以sinC==

=，

cosC===，

tanC==

=.

因此，我們可以得到36°角的三角函數值（利用計算器求得它們的近似值）為：

sin36°=≈0.587 7，

cos36°=≈0.809 0，

tan36°=

≈0.726 5.

通過對15°、36°特殊角三角函數值的求解，我感悟到解決數學問題時，不僅要記住數學概念，更重要的是抓住概念本身所隱含的方法和解題策略，同時還要聯系所學的數學知識靈活應用，融會貫通.

王老師點評：張錦陽同學愛動腦筋，勤于思考，不停留于課本中介紹的30°、45°、60°角三角函數值的理解和掌握，能夠靈活應用所學的數學知識對平時常見的角度進行深入探討.他應用三角函數概念本身隱含的化歸思想，將15°的特殊角放在直角三角形中，利用角度之間的關系構造等腰三角形和30°角，進而求得15°的特殊角的三角函數值；將36°的特殊角放在黃金三角形中，利用角度之間的關系構造相似三角形揭示邊與邊之間的數量關系，并化歸為直角三角形，進而求得36°的特殊角的三角函數值.小作者對于自己目前無法化簡的二次根式還利用計算器求得近似值，更體現小作者解題的嚴謹性.

（指導教師：王競進）