辨析平均數、眾數、中位數

李紅

平均數、中位數和眾數從不同側面給我們提供了同一組數據的面貌，都是描述數據的集中趨勢的“特征數”.三者都可以作為一組數據的代表，但是它們反映數據的特征有所不同.學習這部分內容的難點是理解這三個量之間的區別，主要表現在以下幾個方面.

1. 意義和求法不同

平均數：一組數據的總和除以這組數據個數所得到的商叫這組數據的平均數.

中位數：將一組數據按從大到小（或從小到大）排列，處在最中間位置的一個數或最中間的兩個數的平均數叫做這組數據的中位數.

眾數：在一組數據中出現次數最多的數叫做這組數據的眾數.只要找，不必計算就可求出.

例1 若五個正整數的中位數是3，唯一的眾數是7，則這五個數的平均數是_______.

【分析】首先根據眾數與中位數的定義，得出這五個數據中的三個數，再根據一組數據由五個正整數組成，得出其它兩個數，最后由平均數的意義得出結果.

解：∵五個正整數的中位數是3，唯一的眾數是7，

∴知道的三個數是3，7，7.

∵一組數據由五個正整數組成，

∴另兩個為1，2.

∴這五個正整數的平均數是（1+2+3+7+7）÷5=4.

故答案為：4.

【點評】本題考查了平均數、眾數與中位數的意義，掌握平均數、眾數與中位數的計算公式是解題的關鍵.

2. 個數不同

在一組數據中，平均數和中位數都具有惟一性，但眾數有時不具有唯一性.在一組數據中，可能不止一個眾數，也可能沒有眾數.

3. 呈現形式不同

平均數：是一個“虛擬”的數，是通過計算得到的，它不是數據中的原始數據，它可能與原數據中的某一個相同，也可能與原數據中的任何一個都不同.

中位數：是一個不完全“虛擬”的數.當一組數據是奇數個時，它就是該組數據排序后最中間的那個數據，是這組數據中真實存在的一個數據；但在數據個數為偶數的情況下，中位數是最中間兩個數據的平均數，只有當中間的兩個數相同時，它才與這組數據中的兩個或兩個以上數據相同，是數據中的一個真實的數，如果正中間的兩個數不同，此時的中位數就是一個“虛擬”的數.

眾數：是一組數據中出現次數最多的原數據，它是真實存在的.但當一組數據中的每一個數據都出現相同次數時，這組數據就沒有眾數了.

例2 公園里有甲、乙兩群游客正在做團體游戲，兩群游客的年齡如下（單位：歲）：

甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；

乙群：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57.

解答下列問題（直接填在橫線上）：

（1） 甲群游客的平均年齡是_______歲，中位數是_______歲，眾數是_______歲，其中能較好反映甲群游客年齡特征的是_______.

（2） 乙群游客的平均年齡是_______歲，中位數是_______歲，眾數是_______歲，其中能較好反映乙群游客年齡特征的是_______.

【分析】平均數、中位數及眾數都是反映數據集中趨勢的量，當一組數據的大小比較接近時（如甲群游客），三個量也比較接近；當一組數據中有個別數特別大或特別小時（如乙群游客），它就會影響平均數的大小，但不影響中位數、眾數，此時可由中位數或眾數反映這組數據的集中趨勢.

【答案】（1） 15，15，15，平均數、中位數、眾數；

（2） 15，5.5，6，中位數、眾數.

4. 代表不同

平均數：反映了一組數據的平均大小，常用來代表數據的總體 “平均水平”.

中位數：像一條分界線，將數據分成前后兩部分，因此用來代表一組數據的“中等水平”.

眾數：反映了出現次數最多的數據，用來代表一組數據的“多數水平”.

這三個統計量雖然有所不同，但都可以反映一組數據的集中趨勢，都可以作為一組數據一般水平的代表.

例3 某車間準備采取每月任務定額，超產有獎的措施提高工作效率，為制定一個恰當的生產定額，從該車間200名工人中隨機抽取20人統計其某月產量如下：

（1） 請應用所學的統計知識，為制定生產定額的管理者提供有用的參考數據；

（2） 你認為管理者將每月每人的生產定額定為多少最合適？為什么？

（3） 估計該車間全年可生產零件多少個？

【分析】在確定生產定額時，需參考的數據應當有：平均數、眾數、中位數. 合理的生產定額應確定在使多數人經過努力能夠完成或超額完成的基礎上. 如果將眾數280定為生產定額，則絕大多數工人不需太努力就可完成任務，這就不利于提高工作效率；若將平均數305定為生產定額，則多數工人不可能超產，甚至完不成定額，會挫傷工人的積極性.

解：（1） 平均數305，中位數290，眾數280；

（2） 取中位數290作為生產定額較合適，原因是這個定額使多數工人經過努力能完成或超額完成；

（3） 305×12×200=7.32×105（個），估計全年總產量約為7.32×105個.

5. 特點不同

平均數的計算中要用到每一個數據，因而它反映的是一組數據的總體水平，選擇特征數表示一組數據的集中趨勢時，我們用得最多的是平均數，用它作為一組數據的代表，比較可靠和穩定， 但容易受到極端數據的影響.

中位數是一組數據的中間量，代表了中等水平.中位數在一組數據的數值排序中處于中間位置，在統計學分析中扮演著“分水嶺”的角色，由中位數可以對事物的大體趨勢進行判斷和掌控.如果在一組相差較大的數據中，用中位數作為這組數據特征的統計量往往更有意義.

眾數代表的是一組數據的多數水平，若一組數據中眾數的頻數比較大，并且與其他數據的頻數相差較大時，我們一般選用眾數.還要特別注意如下例題：某班42名同學，年齡11歲的有24個人，年齡10歲的有8個人，年齡12歲的有6個人，年齡超過12歲的有4個人.則該班同學年齡分布的眾數為11歲，它表明該班年齡為11歲的同學最多（注意眾數不是24人）.

例4 某班7個合作學習小組人數如下：4、5、5、x、6、7、8，已知這組數據的平均數是6，則這組數據的中位數是（ ）.

A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7

【分析】根據平均數的定義先求出這組數據中的x，再將這組數據從小到大排列，然后找出最中間的數即可.

解：∵4、5、5、x、6、7、8的平均數是6，

∴（4+5+5+x+6+7+8）÷7=6， 解得：x=7，

將這組數據從小到大排列為4、5、5、6、7、7、8， 最中間的數是6.

則這組數據的中位數是6，故選C.

【點評】此題考查了中位數，掌握中位數的概念是解題的關鍵，中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（最中間兩個數的平均數）.

這三種特征數都可以作為一組數據的代表，但它們所表示的意義是不同的.選用它們表示一組數據的集中趨勢時，一般是遵循“多數原則”，即哪種特征數能代表這組數據的絕大多數.我們解題時要正確選用合適的特征數來說明、評價、分析實際問題，避免誤用和濫用.

6. 作用不同

平均數：是統計中最常用的數據代表值，平均數既可以描述一組數據本身的整體平均情況，也可以用來作為不同組數據比較的一個標準.因此，它在生活中應用最廣泛，比如我們經常所說的平均成績、平均身高、平均體重等.

中位數：作為一組數據的代表，可靠性比較差，因為它只利用了部分數據.但當一組數據的個別數據偏大或偏小時，用中位數來描述該組數據的集中趨勢就比較合適.

眾數：作為一組數據的代表，可靠性也比較差，因為它也只利用了部分數據.在一組數據中，如果個別數據有很大的變動，且某個數據出現的次數最多，此時用該數據（即眾數）表示這組數據的“集中趨勢”就比較適合.

例5 某校為舉行百年校慶，決定從高二年級300名男生中挑選80人組成儀仗方隊，現隨機抽測10名高二男生的身高如下（單位：米）：1.69，1.75，1.70，1.65，1.72，1.69，

1.71，1.68，1.71，1.69. 試確定參加儀仗方隊學生的最佳身高值.

【分析】理想的儀仗方隊應由身材較高，且高矮一致的人組成，因此身高的挑選標準應由身高中出現次數最多的數值所確定.

解：上面10個數據中的眾數為1.69米，說明全年級身高為1.69米的男生最多，估計約有90人，因此將挑選標準定在1.69米，便于組成身高整齊的儀仗方隊.

例6 甲、乙兩名運動員在6次百米跑訓練中成績如下（單位：秒）：

請你比較這兩組數據的眾數、平均數和中位數，談談你的看法.

【分析】本題需比較兩人成績的平均數、中位數和眾數來衡量兩人成績水平情況.

解：甲運動員的成績的眾數是10.8，中位數是10.85，平均數為10.9；

乙運動員成績的眾數是10.9，中位數是10.85，平均數為10.8.

從兩人成績的眾數看，甲的成績好于乙的成績；

從兩人成績的中位數看，兩人的成績相同；

從兩人成績的平均數看，乙的成績好于甲的成績.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區實驗初級中學）