“三招”破解概率難點

苗鑫

概率在日常生活、科學實踐中應用非常廣泛.在同學們的知識經驗中雖然有了一些對事件發生的可能性大小的體驗，但那些都是感性的、粗線條的.現在遇到用具體的數——概率來刻畫事件發生的可能性，要用數字“說話”，一時難適應，計算也感到沒有頭緒.為了幫助同學們學好這一章，下面教同學們“三招”，用來破解概率學習中的難點.

第一招 辨析概念

事件發生的“等可能性”這一概念要加強辨析

概念：如果一次試驗由n個基本事件組成，而且所有的基本事件出現的可能性都相等，那么這個事件叫做等可能性事件.

辨析1：這里的n可以是有限個也可以是無限個.例如：拋擲一個質地均勻的骰子出現的可能性是有限的；轉動一個均勻的轉盤，當轉盤停止轉動時指針位置出現的可能性是無限的.

辨析2：等可能性包含兩層含義：①所有可能發生的結果為有限個或無限個，每次試驗有且只有一個結果出現；②每個結果出現的機會均等.

例1 判斷下列試驗的結果哪些具有等可能性.

（1） 拋擲一枚質地均勻的骰子，面朝上的點數是奇數與面朝上的點數是偶數的結果；

（2） 拋擲一枚圖釘，釘尖朝上朝下的結果；

（3） 一只不透明的袋中裝有3個紅球和4個白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中摸出一個球，出現紅球和白球的結果.

【錯解】（1）（2）（3）的試驗結果都具有等可能性.

【錯解辨析】拋擲一枚質地均勻的骰子，面朝上的點數是奇數或是偶數各有3種等可能的結果，所以（1）的試驗結果具有等可能性；圖釘不均勻，拋擲中釘尖朝上朝下的機會不均等，所以（2）的試驗結果不具有等可能性；在一只不透明的袋中裝有3個紅球和4個白球，從中任意摸出一個球有7種等可能的結果，而從中摸出紅球和白球的結果出現的機會不均等，所以（3）的試驗結果不具有等可能性.

【正解】（1）的試驗結果具有等可能性，（2）（3）的試驗結果不具有等可能性.

第二招 學好“列表”與“畫圖”

如果每次試驗包含兩步，每一步可能產生的結果數比較多，這時可以用一種較簡便的列舉方法——列表法，這種方法適合在兩步試驗中每一步出現的結果較多的情況.

例2 一個布袋內只裝有1個黑球和2個白球，這些球除顏色外其余都相同，隨機摸出一個球后放回攪勻，再隨機摸出一個球，則兩次摸出的球都是黑球的概率是（ ）.

A. B. C. D.

【解析】列表如下：

由表格可知，隨機摸出一個球后放回攪勻，再隨機摸出一個球所得的結果有9種，兩次摸出的球都是黑球的結果有1種，所以兩次摸出的球都是黑球的概率是■.故答案選D.

【點評】列表法可以不重復不遺漏地列出所有可能發生的結果，適合于兩步完成的事件.

當事件要經過多個步驟（三步或三步以上）完成時，用樹狀圖列出事件所有可能出現的結果，脈絡清晰，一目了然.

例3 為了參加中考體育測試，甲，乙，丙三位同學進行足球傳球訓練.球從一個人腳下隨機傳到另一個人腳下，且每位傳球人傳球給其余兩人的機會是均等的，由甲開始傳球，共傳三次.

（1） 請用樹狀圖列舉出三次傳球的所有可能情況；

（2） 求傳球三次后，球回到甲腳下的概率；

（3） 三次傳球后，球回到甲腳下的概率大還是傳到乙腳下的概率大？

【解析】（1） 三次傳球所有可能的情況如圖：

（2） 由圖知：三次傳球后，球回到甲的概率為P（甲）

（3）由圖知：三次傳球后，球回到乙的概率為P（乙）

P（乙）>P（甲），所以是傳到乙腳下的概率要大.

【點評】用樹狀圖求概率時，最關鍵的是畫樹狀圖時橫行與豎列的確定.確定時掌握一個原則，橫行是試驗中的元素，如本題的甲、乙、丙等，豎列是試驗的步驟，如本題的第一次、第二次、第三次等.試驗的結果總數為樹狀圖最末端的總個數，如本例中可能的結果共有8種.

第三招 細心審題破解“放回”與“不放回”型概率問題

例4 一個不透明的袋子中裝著標號為1，2，3，4的4個小球，這些球除顏色外都相同. 甲乙兩人共同協商了一個游戲規則：將球攪勻后，每人從中摸出一個球，其中摸出的球上的標號大的一方獲勝.

（1） 若甲先摸球且摸出的球不放回，乙再摸球，求乙獲勝的概率；

（2） 若甲摸出的球放回后乙再摸球，此時制訂的游戲規則公平嗎？為什么？

【解析】第（1）小題中，要求乙獲勝的概率，相信同學們應該能輕松解決.對了，通過列表或者畫樹狀圖的方法，列出所有可能的情況共12種，其中乙勝的情況數為6種，因此乙獲勝的概率為0.5.關于第（2）小題，要判斷游戲規則是否公平，同學們想想看，應該根據什么來判斷呢？不錯，就是看在該規則下甲乙兩人獲勝的概率是否相同！因此，只需算出甲乙兩人的獲勝概率，就可以作出判斷. 同樣列出表格或者樹狀圖，可以看到，現在的所有可能的情況是16種了，不過其中有四種是平局，另外甲勝有6種，乙勝也有6種，因此甲乙兩人獲勝的概率都是0.375，因此這個游戲規則是公平的.

同學們，這一類問題的解決方法應該清楚了吧？不妨再挑戰難度大點的：如果把游戲規則改為甲先摸球，記下標號后放回，然后乙再摸球，把兩人摸到的球的標號相加，如果和為偶數，則甲勝，否則乙勝. 請問這個游戲規則公平嗎？

在學習概率時，我們要充分利用已有的生活經驗和認知基礎，用身邊感興趣的、鮮活生動的問題情境作為學習素材，讓自己親身經歷，自己總結、分析，試著用自己的語言表述，理解、辨析概念，對典型的問題，要在相互交流、討論甚至爭議中澄清認識，逐漸積累解題經驗.對于復雜情形的問題，要重視課堂中老師的點撥和解題后的檢查，減少失誤的機會，增強自己的學習信心.

（作者單位：江蘇省宿遷市湖濱新區曉店中學）