“概率”中蘊含的數學思想

李先永

數學的精髓不在于知識本身，而在于數學知識中所蘊含的數學思想方法.數學思想也是知識轉化為能力的橋梁.學習概率知識，也要重視數學思想方法的應用.現將初中概率中常見的數學思想舉例如下.

一、 方程思想

方程思想就是對所求的概率問題通過列方程（或方程組）求解的一種思想方法.

例1 一只口袋中放著若干個紅球和白球，這兩種球除了顏色以外沒有其他任何區別，袋中的球已經攪勻，蒙上眼睛從口袋中取出一個球，取出紅球的概率是.

（1） 取出白球的概率是多少？

（2） 如果袋中的白球有18個，那么袋中的紅球有多少個？

【分析】（1） 因為取出的球不是白球就是紅球，所以P（取出白球）+P（取出紅球）=1；

（2） 設袋中有紅球x個，由P（取出紅球）=，可列出方程求解.

解：（1） P（取出白球）=1-P（取出紅球） =1-=；

（2） 設袋中有紅球x個，

根據題意，得=，

解得x=6，

所以袋中的紅球有6個.

【點評】利用概率公式建立方程可以求解已知概率而其他量未知的計算問題，這是解決概率問題的常用方法.

二、 數形結合思想

“概率”的數形結合主要有：（1） 有列表法或畫樹狀圖法試驗的等可能的結果數；（2） 幾何圖形中概率的問題；（3） 結合點所在的象限、函數圖像等求概率問題；（4） 結合統計圖表解決與概率有關的實際問題.

例2 如圖1，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊長為4.現做如下實驗：將轉盤劃分成4個相同的小扇形，并分別標上1，2，3，4.轉動轉盤兩次，轉盤停止后，指針所指向的數字作為平面直角坐標系中點P的坐標（第一次作為橫坐標，第二次作為縱坐標），指針如果指向分界線上，則重新轉動轉盤.

（1） 請你用樹狀圖或列表的方法，求P點落在正方形ABCD面上（含內部與邊界）的概率；

（2） 將正方形ABCD平移整數個單位，則是否存在某種平移，使點P落在正方形ABCD面上的概率為？若存在，指出一種具體的平移過程；若不存在，請說明理由.

【分析】先根據題意列出表格，得到構成點P的坐標有16種等可能的結果，其中落在正方形面上（含內部與邊界）的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）共4種，所以點P落在正方形面上（含內部與邊界）的概率是；若使點落在正方形面上的概率為，則只需有4個點不在正方形內部，并且點P的所有情況都是在第1象限，所以可以通過向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度或者向右平移1個單位長度，向上平移2個單位長度，使點P落在正方形面上的概率為.

解：（1） 列表如下：

點P的坐標所有的情況有16種，其中落在正方形面上（含內部與邊界）的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4種，所以點P落在正方形面上（含內部與邊界）的概率是=.

（2） 略.

【點評】本題主要考查了概率的計算方法和正方形與平移的有關性質.要會根據正方形的性質得到所對應的點的坐標，利用列表法求符合條件的概率. 用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

三、 轉化思想

在概率問題中，所有可能結果的概率之和等于1，因此求某個較復雜的隨機事件或多個隨機事件的概率之和時，可以先求出所有其他事件發生的概率，再用1減去這個概率，即可解決問題.

例3 一只不透明袋子中裝有兩個紅球、3個黃球，4個綠球，這些球除顏色外都相同.小明攪勻后從中任意摸出一個球，這個球是紅球或綠球的概率是_______.

【分析】摸出的是黃球和摸出的是紅球或綠球的概率和為1，所以可以先求出摸出的是黃球的概率，再用1減去這個概率就是摸出的是紅球或綠球的概率.

解：因為P（黃球）==，所以P（紅球或綠球）=1-=.

【點評】本題也可以分別求出摸出紅球和摸出綠球的概率，再相加便是摸出的是紅球或綠球的概率.

四、 分類討論思想

分類討論思想在概率中的應用，主要體現在將所有可能的情況一一列舉出來.

例4 某人的錢包內有10元、20元和50元的紙幣各1張.從中隨機取出兩張紙幣.

（1） 求取出紙幣的總額是30元的概率；

（2） 求取出紙幣的總額可購買一件51元的商品的概率.

【分析】（1） 隨機取出兩張紙幣的情形共有3種，即（10，20），（10，50），（20，50），其中取出紙幣的總額是30的情況有1種. （2） 取出紙幣的總額大于51的情況有兩種.

解：（1） 隨機取出2張紙幣，共有3種情況，即（10，20），（10，50），（20，50），其中取出紙幣的總額是30的情況有1種，

∴P（取出紙幣的總額是30元的概率）=；

（2） 取出紙幣的總額大于51的情況有兩種，∴P（取出紙幣的總額可購買一件51元的商品）=.

【點評】當符合要求的情形不止一種時，需要應用分類的思想來解答.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區實驗初級中學）