中考中概率的新綜合問題

樊翠萍

概率問題在中考中的分量逐漸加重，尤其在近兩年的中考中體現得更加明顯.不僅考查的分值在增加，與代數、幾何、統計的融合更加自然，考查的背景也與社會熱點、環境保護、生活更加貼近，問題設置巧妙，重難點突出.下面以部分中考（模擬）試題為例，探討其求解的思路和方法，供同學們參考.

一、 以代數知識為背景的概率問題

1. （2015·常州）小明在學習反比例函數的圖像時，他的老師要求同學們根據“探索一次函數y1=x+1的圖像”的基本步驟，在紙上逐步探索函數y2=的圖像，并且在黑板上寫出4個點的坐標：A，，B（1，2），C1，，D（-2，-1）.

（1） 在A、B、C、D四個點中，任取一個點，這個點既在直線y1=x+1又在雙曲線y2=上的概率是多少？

（2） 小明從A、B、C、D四個點中任取兩個點進行描點，求兩點都落在雙曲線y2=上的概率.

【分析】（1） 找到既在直線y1=x+1又在雙曲線y2=上的兩點為B和D兩點，再利用概率公式可求解；

（2） 可利用列舉法得四個點中任取兩個點情況的個數，再找其中都在雙曲線y2=上有三種情況，可得解.

解：（1） 點B與點D既在直線y1=x+1上，又在雙曲線y2=上，因此任取一個點，既在直線又在雙曲線上的概率P==.

（2） 由（1）可得，“從A、B、C、D四個點中任意挑選兩個點進行描點”有6種等可能的情況，分別是：AB，AC，AD，BC，BD，CD.其中，“兩點都落在雙曲線y2=上”有AB、AD、BD三種情況.

∴P（兩點都落在雙曲線y2=上）==.

【評注】本題把概率與代數巧妙結合，涉及的代數知識是點在直線與雙曲線上，即看點的坐標是否滿足直線與雙曲線的函數.

二、 以幾何知識為背景的概率問題

2. （2015·杭州）如圖1，已知點A，B，C，D，E，F是邊長為1的正六邊形的頂點，連接任意兩點均可得到一條線段，在連接兩點所得的所有線段中任取一條線段，取到長度為的線段的概率為（ ）.

A. B. C. D.

【分析】根據概率的求法，找準兩點：①全部等可能情況的總數；②符合條件的情況數目.二者的比值就是其發生的概率.

解：如圖1，∵連接正六邊形任意兩個頂點可得15條線段，其中有6條的長度為：AC、AE、BD、BF、CE、DF，

∴所求概率為P==，故選B.

【評注】本題是幾何圖形與概率的結合，考查正六邊形的性質，同時全部等可能的情況不能遺漏，可借助樹狀圖或列表獲得求解.

三、 以實際生活為背景的概率問題

3. （2015·江陰一模）小英與她的父親、母親計劃清明小長假外出旅游，初步選擇了蘇州、常州、上海、南京四個城市，由于時間倉促，他們只能去其中一個城市，到底去哪一個城市三個人意見不統一，在這種情況下，小英父親建議，用小英學過的摸球游戲來決定，規則如下：

①在一個不透明的袋子中裝一個紅球（蘇州）、一個白球（常州）、一個黃球（上海）和一個黑球（南京），這四個球除顏色不同外，其余完全相同；

②小英父親先將袋中球搖勻，讓小英從袋中隨機摸出一球，父親記錄下其顏色，并將這個球放回袋中搖勻，然后讓小英母親從袋中隨機摸出一球，父親記錄下它的顏色；

③若兩人所摸出球的顏色相同，則去該球所表示的城市旅游，否則，前面的記錄作廢，按規則②重新摸球，直到兩人所摸出球的顏色相同為止.

按照上面的規則，請你解答下列問題：

（1） 已知小英的理想旅游城市是常州，小英和母親隨機各摸球一次，請用畫樹狀圖或列表法求兩人均摸出白球的概率是多少？

（2） 已知小英母親的理想旅游城市是上海，小英和母親隨機各摸球一次，至少有一人摸出黃球的概率是多少？

【分析】（1） 根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果，再利用概率公式可求得；

（2） 至少有一人摸出黃球包含兩人中一人摸到黃球和兩人都摸到黃球，這是解決本題關鍵，由樹狀圖可得7種情況.

解：（1） 畫樹狀圖得：

∵共有16種等可能的結果，均摸出白球的只有1種情況，

∴小英和母親隨機各摸球一次，均摸出白球的概率是：；

（2） 由（1）得：共有16種等可能的結果，至少有一人摸出黃球的有7種情況，

∴小英和母親隨機各摸球一次，至少有一人摸出黃球的概率是：.

【評注】本題以實際生活為背景，在增加題目的趣味性的同時滲透概率問題，體現數學來源于生活，同時又指導實踐.