走進笛卡兒的解析幾何世界

陸芹華

近代數學本質上可以說是變量數學。從初等數學發展到近代數學，解析幾何的發明是變量數學的第一個里程碑。正如恩格斯所說：“數學中的轉折點是笛卡兒的變數。”

講到解析幾何，就要從其創始人笛卡兒談起。

笛卡兒1596年生于法國土倫省萊耳市的一個貴族之家，父親是地方議會的議員，笛卡兒無憂無慮地度過了童年。他幼年體弱多病，母親病故后就一直由一位保姆照看。他對周圍的事物充滿了好奇，被父親稱為“小哲學家”。在笛卡兒八歲時，父親便將他送入拉弗萊什的教會學校學習，接受古典教育。校方為照顧他孱弱的身體，特許他可以不受校規的約束，早晨不必到學校上課，可以在床上讀書，因此他從小養成了喜歡安靜，善于思考的習慣。

1616年笛卡兒結束學業后，便背離家庭的職業傳統，開始探索人生之路。他棄筆從戎，想借機游歷歐洲，開闊眼界。這和東方教育中的“讀萬卷書，行萬里路”在本質上是相通的。在此期間有幾次經歷對他產生了重大的影響。一次，笛卡兒在街上散步，偶然間看到了一張數學題懸賞的啟事。兩天后，笛卡兒竟然把那個問題解答出來了，引起了著名學者皮克曼的注意。皮克曼向笛卡兒介紹了數學的最新發展，給了他許多有待研究的問題。

回國后，由于經常不分白天黑夜地研究數學，笛卡兒病到了。人躺在床上，那些可愛而又折磨著他的數學問題又來了：“直觀、形象是幾何圖形的特征，而代數方程雖十分抽象，但便于運算，要是能將兩者結合起來，用幾何圖形表示方程，或者用代數的方法解決幾何學問題，那該多好啊！”他已找到了解決問題的關鍵，即只要把組成幾何圖形的“點”與滿足方程的每一組“數”掛上鉤，其他問題就都迎刃而解了。傳說某一天，他看見蜘蛛正忙著在墻角落上結網。這精彩的“雜技”牢牢地把笛卡兒吸引住了。這一有趣的現象，使笛卡兒受到啟發。

他在紙上畫出三條相互垂直的直線，分別表示兩墻的交線和墻與天花板的交線，并在空間點出一個P點代表蜘蛛，P到兩墻的距離分別用x和y表示，到天花板的距離則用x表示。這樣，只要x，y，z有了準確的數值，P點的位置就完全可以確定了。就這樣，笛卡兒把以往對立的兩個研究對象“數”與“形”統一起來了，并在數學中引入了變量的思想，從而完成了數學史上一項劃時代的變革，用代數方法代替傳統的幾何方法，解析幾何的許多思想都是笛卡兒首創的。

據說，笛卡兒曾在一個晚上做了三個奇特的夢。第一個夢是笛卡兒被風暴吹到一個風力吹不到的地方；第二個夢是他得到了打開自然寶庫的鑰匙；第三個夢是他開辟了通向真正知識的道路。這三個奇特的夢增強了他創立新學說的信心。這一天是笛卡兒思想上的一個轉折點，有些學者也把這一天定為解析幾何的誕生日。

縱觀數學發展史，許多數學名家并非一開始就是從事數學研究的，很多人由偶然的機會而對數學產生了興趣，才走上專業化發展道路的。解析幾何的創始人笛卡兒就是很好的范例。

或許我們的同學在學習了解析幾何后，也會對數學產生興趣，喜歡上數學，我們期待著。

解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，它溝通了代數與幾何之間的聯系，體現了數形結合的重要數學思想。基本思想是：首先需要把圖形問題轉化成代數形式；然后，用代數方法算出結果；最后，把算出來的結果再轉化成幾何形式。這兩次轉化的橋梁就是笛卡兒提出的兩個基本觀點：用坐標表示點；用方程表示曲線。解析幾何主要有兩大任務：（1）根據曲線的幾何條件，把它的代數形式表示出來；（2）通過曲線的方程來討論它的幾何性質。

為了更進一步說明笛卡兒的解析幾何思想，我們將其方法運用于如圖2所示的圓。

假設該圓的半徑為5。設P是曲線上的任意一點，x和y是其坐標。再根據歐式幾何中的畢達哥拉斯定理：一個直角三角形中，兩直角邊的平方和等于其斜邊的平方，這就告訴我們有x²+y²=25（*）。這個關系適用于圓上的每一個點；也就是，每一個點的x和y都滿足x²+y²=25。例如，坐標為（3，4）的點，因為3²+4²=25，所以該點位于圓上。但是（3，2）就不是圓上的點的坐標，因為3²+2²不等于25。如果將一個點的橫坐標值x和縱坐標值y代入（*）式，使其左邊等于右邊，則我們就說該點的坐標滿足方程（*）。圓上的點的坐標滿足這個方程；不在圓上的點的坐標不滿足這個方程。

解析幾何把代數和幾何結合起來，把數學造成一個雙面的工具。偉大的數學家拉格朗日說：“只要代數和幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄。但當這兩門科學結成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，就以快速走向完善。”17世紀以來數學的巨大發展，在很大程度上應歸功于笛卡兒和他的解析幾何，可以說，如果沒有解析幾何的預先發展，現代數學中極為重要的微分學和積分學也是不可能出現的。