基于創(chuàng)新和應(yīng)用能力的數(shù)值分析課程教學(xué)研究與實(shí)踐

劉三明

[摘 要]數(shù)值分析的精髓在于其應(yīng)用性，尋求近似解與精確解之間的平衡是實(shí)現(xiàn)數(shù)值分析價(jià)值的應(yīng)用手段。做好數(shù)值分析課程的教學(xué)工作，既能提升學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力，又能加深其對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的認(rèn)識(shí)。數(shù)值分析課程作為我校電氣工程專業(yè)學(xué)位研究生的一門重要的基礎(chǔ)應(yīng)用型課程，與電氣工程專業(yè)的專業(yè)課程聯(lián)系緊密。有效的數(shù)值分析課程教學(xué)不僅為學(xué)生提供了知識(shí)，更培養(yǎng)了其認(rèn)識(shí)問題、解決問題的能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)值分析；教學(xué)方法；數(shù)學(xué)建模；創(chuàng)新能力

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2016）02-0130-02

數(shù)值分析覆蓋內(nèi)容廣泛，該門課程既保持了純數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)密性，又突出了應(yīng)用學(xué)科的廣泛性和技術(shù)性，因此被學(xué)界認(rèn)為是傳授難、學(xué)習(xí)難的一門課程。針對(duì)數(shù)值分析課程上述特點(diǎn)與我校電氣工程領(lǐng)域?qū)I(yè)學(xué)位研究生的要求，筆者以在教學(xué)過程中的親身實(shí)踐作為基礎(chǔ)，談?wù)剬?duì)該課程的一些認(rèn)識(shí)。

一、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

為了有效講授數(shù)值分析課程，必須對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理取舍、突出重點(diǎn)，應(yīng)以學(xué)生專業(yè)方向?yàn)榛A(chǔ)，將教學(xué)時(shí)間主要安排在講解誤差分析、插值法、函數(shù)逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、解線性方程組的直接法和迭代法、非線性方程數(shù)值解法等內(nèi)容上。對(duì)于如矩陣特征值的計(jì)算，在有條件的情況下可以對(duì)其思想進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，而對(duì)于如常微分方程初邊值問題的數(shù)值解、多重積分、共軛梯度法、求根問題的敏感性與多項(xiàng)式的零點(diǎn)等內(nèi)容可以忽略不講，推薦學(xué)生自學(xué)。此外，根據(jù)研究生的特點(diǎn)，在教學(xué)時(shí)需尤其注重基礎(chǔ)知識(shí)傳遞輔以實(shí)驗(yàn)的結(jié)合。對(duì)于數(shù)值分析的每一個(gè)知識(shí)模塊，都必須融入課后實(shí)驗(yàn)。教師還必須增進(jìn)將科研成果引入課堂的意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建符合自身研究方向或興趣的問題，并以實(shí)際背景為依托，利用在課堂上學(xué)到的知識(shí)，通過查閱文獻(xiàn)、選擇算法進(jìn)行個(gè)人實(shí)踐并最終形成一份完整的研究報(bào)告。本校的數(shù)值分析課程教學(xué)利用的就是上述這一套辦法。這既激發(fā)了學(xué)生對(duì)于該門課程的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也豐富了學(xué)生在各自研究領(lǐng)域的數(shù)學(xué)計(jì)算方法，讓他們體驗(yàn)到了科研工作的樂趣，也讓他們充分理解到運(yùn)用好數(shù)學(xué)方法是其進(jìn)行有效科研工作的強(qiáng)大后盾。

二、精心設(shè)計(jì)教學(xué)方法，注重教學(xué)效果

在教學(xué)中，我們采用參與型教學(xué)法與比較分析法，具體思路如下。

1.為了在課堂上盡量給學(xué)生提供參與的機(jī)會(huì)，每次課后習(xí)題作業(yè)批改后，不是將作業(yè)發(fā)給學(xué)生了事，而是邀請(qǐng)學(xué)生在課堂上對(duì)其解答過程及思路進(jìn)行講解，并和同學(xué)及教師進(jìn)行討論，教師僅對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)講評(píng)。學(xué)生們很喜歡這種給他們展示自己實(shí)力的機(jī)會(huì)，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性得到較好的發(fā)揮，教學(xué)效果好。

2.對(duì)于一些合適的教學(xué)內(nèi)容，可以采取讓學(xué)生課前自學(xué)有關(guān)章節(jié)的內(nèi)容，然后在課堂上請(qǐng)學(xué)生講課，其他同學(xué)提問，教師點(diǎn)評(píng)的教學(xué)方式。這種教學(xué)方式可以讓學(xué)生對(duì)課堂知識(shí)的接受由被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng)探索。

3.數(shù)值分析的一個(gè)重要特點(diǎn)就是利用多種方法解決同一問題。因此將在同一問題框架下構(gòu)建的多種方法進(jìn)行優(yōu)劣比較，既有助于學(xué)生搭建整體知識(shí)框架，又能有效鍛煉學(xué)生的思考能力和分析能力。使用該方法時(shí)，需注意給學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行思考，教師可在學(xué)生獨(dú)立思考期間適當(dāng)?shù)赜枰砸龑?dǎo)和鼓勵(lì)。在數(shù)值分析的教學(xué)中，由于在學(xué)習(xí)中不斷更新數(shù)值計(jì)算方法，往往在課程學(xué)習(xí)完成后，學(xué)生經(jīng)常會(huì)面對(duì)掌握多種方法卻不知道每種方法的應(yīng)用范圍的情況。為了解決上述問題，使學(xué)生充分掌握各類計(jì)算方法，就必須在教學(xué)過程中鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)各種方法進(jìn)行比較、分析，總結(jié)出各自的應(yīng)用特點(diǎn)并加以實(shí)踐。例如，在對(duì)函數(shù)值進(jìn)行近似計(jì)算時(shí)，課堂上主要介紹的是插值與擬合兩種方法。通過比較可以發(fā)現(xiàn)：二者在應(yīng)用上基本思想不同，插值方法的使用強(qiáng)調(diào)插值點(diǎn)的精確逼近，而擬合法的使用則需要整體平均逼近。

三、融合傳統(tǒng)的教學(xué)方式和現(xiàn)代教學(xué)手段

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，大多利用黑板進(jìn)行板書講授，而此類教學(xué)模式于數(shù)值分析而言卻不完全適用。因?yàn)閭魇谟?jì)算方法是數(shù)值分析教學(xué)中的主要內(nèi)容，而體現(xiàn)計(jì)算方法的主要是枯燥的數(shù)學(xué)符號(hào)及其運(yùn)算，單純地向?qū)W生教授數(shù)學(xué)符號(hào)背景下的數(shù)學(xué)方法既缺乏直觀性，又缺乏連貫性，大部分學(xué)生難以理解。因?yàn)閿?shù)值分析中的大量冗長(zhǎng)公式，單純利用板書向?qū)W生講述，既費(fèi)時(shí)費(fèi)力，又難以充分展現(xiàn)整個(gè)推導(dǎo)過程，教師很難將前后聯(lián)系在一起講解。因此，對(duì)于數(shù)值分析的講解，要充分將現(xiàn)代多媒體教學(xué)手段融入教學(xué)過程中，打破傳統(tǒng)教學(xué)模式的壁壘，將傳統(tǒng)的教學(xué)手段與現(xiàn)代的教學(xué)方式相結(jié)合，在課程教學(xué)中做到有效使用多媒體工具。對(duì)基本理論如概念、方法等的講授可以傳統(tǒng)的教學(xué)方法為主，而公式應(yīng)用、復(fù)雜計(jì)算等則可以通過多媒體手段進(jìn)行展示。比如在講解插值法時(shí)，可根據(jù)多媒體教學(xué)內(nèi)容信息量大和生動(dòng)鮮明的特點(diǎn)對(duì)該方法進(jìn)行充分闡述。又比如在教授迭代法穩(wěn)定性和收斂性時(shí)，傳統(tǒng)的教學(xué)手段缺乏圖形解釋，學(xué)生根據(jù)純文字介紹很難理解其本質(zhì)，而若改用多媒體對(duì)收斂和發(fā)散進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生根據(jù)圖形聯(lián)想很快就能理解其變化本質(zhì)，學(xué)生接受知識(shí)更為容易。

四、將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析教學(xué)中

數(shù)學(xué)建模是將數(shù)學(xué)與實(shí)際緊密聯(lián)系在一起的橋梁，亦是數(shù)學(xué)作為一種工具在各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮作用的媒介，是數(shù)學(xué)作為一種科學(xué)動(dòng)力向應(yīng)用轉(zhuǎn)換的主要手段。隨著數(shù)學(xué)建模的不斷發(fā)展，其作用逐漸被數(shù)學(xué)與工程界重視，如今，它已經(jīng)成為了現(xiàn)代科學(xué)研究人員不可缺少的重要能力之一。在數(shù)值分析課堂教學(xué)中，教師要注意將數(shù)學(xué)建模的思想融入日常課堂教學(xué)的過程中。為了貫徹這種思想，教師可以采取下述方式：在新問題、新方法出現(xiàn)時(shí)，通過介紹該問題的應(yīng)用背景滲透數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生知道所學(xué)的知識(shí)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用。教師也可以自己構(gòu)建一個(gè)實(shí)際問題，根據(jù)數(shù)學(xué)建模的步驟對(duì)問題進(jìn)行分析并創(chuàng)立數(shù)學(xué)模型，利用上述途徑完成對(duì)數(shù)值方法的引入。采用上述方法不僅可以直觀地增進(jìn)學(xué)生對(duì)理論和實(shí)際應(yīng)用的認(rèn)識(shí)，還能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)某一實(shí)際問題的分析與解決能力。如在數(shù)值積分章節(jié)，教師可以通過鋁制波紋瓦的長(zhǎng)度問題為引導(dǎo)，幫助學(xué)生根據(jù)問題構(gòu)建曲線積分?jǐn)?shù)學(xué)模型，并根據(jù)相應(yīng)數(shù)學(xué)方法構(gòu)建出定積分?jǐn)?shù)學(xué)模型。因?yàn)槟承┖瘮?shù)求取原函數(shù)存在困難，牛頓萊布尼茨公式很難對(duì)上述內(nèi)容進(jìn)行求解，可從此引出數(shù)值積分思想。又如在插值法中，教師在教學(xué)過程中可以首先提出問題：如何根據(jù)已經(jīng)獲得的某處海洋不同深度處的水溫而合理地估計(jì)其他深度處的水溫？以此為契機(jī)介紹插值法。在講曲線擬合時(shí)，先提出問題：根據(jù)我國(guó)自1900到2014年的人口數(shù)，如何才能預(yù)測(cè)出未來的人口數(shù)？以此為前提介紹曲線擬合。在數(shù)值分析教學(xué)過程中引入數(shù)學(xué)建模思想，既可以使學(xué)生充分掌握數(shù)值分析的相關(guān)理論和方法，還可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的科研創(chuàng)新能力，為日后從事科學(xué)研究工作打下一定的基礎(chǔ)。

五、強(qiáng)化課程實(shí)踐，打造應(yīng)用能力

在數(shù)值分析課程的理論教學(xué)中需引入實(shí)驗(yàn)性思想，具體如下。

1.強(qiáng)化基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)部分：對(duì)基本的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，通過講解算法的框圖、多媒體演示和直接用Matlab軟件的求解，然后在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行實(shí)際編程、調(diào)試、計(jì)算結(jié)果。

2.綜合性補(bǔ)充實(shí)驗(yàn)和創(chuàng)新型實(shí)驗(yàn)部分：向?qū)W生提供若干科研分析實(shí)際問題中遇到的和數(shù)值分析相關(guān)的綜合實(shí)驗(yàn)，并給出輔助材料，允許學(xué)生自選與數(shù)值分析相關(guān)的題目，要求學(xué)生分小組協(xié)作完成，讓每個(gè)小組的學(xué)生作課堂展示。課堂展示要求學(xué)生將自己的報(bào)告通過多媒體形式進(jìn)行展示，其他同學(xué)根據(jù)該學(xué)生的展示內(nèi)容進(jìn)行提問和討論。該方式可以在增進(jìn)學(xué)生之間交流的同時(shí)，從多角度鞏固學(xué)生對(duì)某一難點(diǎn)問題的理解，提升同學(xué)們合作創(chuàng)新的能力。教師對(duì)每個(gè)報(bào)告進(jìn)行總結(jié)，并作進(jìn)一步闡述。

3.強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的總結(jié)并規(guī)范實(shí)驗(yàn)報(bào)告的書寫：鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)自己的問題和成果，在總結(jié)中強(qiáng)化對(duì)問題和方法的認(rèn)識(shí)；同時(shí)提升學(xué)生的科研表述能力，為日后研究文章的撰寫和專利的設(shè)計(jì)打下基礎(chǔ)。

通過實(shí)驗(yàn)訓(xùn)練，學(xué)生鞏固了課堂內(nèi)容，鍛煉了實(shí)踐能力，培養(yǎng)了創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力，為進(jìn)入科研課題的學(xué)生利用數(shù)值分析方法解決在專業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用問題打下了基礎(chǔ)。

六、結(jié)束語

數(shù)值分析課程作為我校電氣工程專業(yè)學(xué)位研究生的一門重要的基礎(chǔ)應(yīng)用型課程，與電氣工程專業(yè)的專業(yè)課程聯(lián)系緊密。有效的數(shù)值分析課程教學(xué)不僅為學(xué)生提供了知識(shí)，更培養(yǎng)了其認(rèn)識(shí)問題、解決問題的能力。我校自2012年開始招生以來，數(shù)值分析課程教學(xué)不斷得到完善和深化。然而，隨著科學(xué)技術(shù)的日新月異和高等教育改革的不斷深化，數(shù)值分析課程改革仍舊需要在實(shí)踐中不斷探索總結(jié)。盡管新的教學(xué)方式、教學(xué)方法得到了學(xué)生們的肯定，也取得了一些成績(jī)，但同時(shí)我們也應(yīng)清醒地認(rèn)識(shí)到教學(xué)改革是一個(gè)持續(xù)的過程，需要包括學(xué)生在內(nèi)的各類教學(xué)元素的共同努力。在實(shí)際教學(xué)中，我們還要不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)際不斷更新教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段，將創(chuàng)新能力和實(shí)際應(yīng)用能力作為教學(xué)的兩大基本目標(biāo)點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)值分析對(duì)電氣工程領(lǐng)域?qū)I(yè)學(xué)位研究生培養(yǎng)目標(biāo)的要求。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 涂俐蘭.研究生“數(shù)值分析”精品課程建設(shè)與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012（6）.

[2] 馬慧彬，張忠武. 工科碩士研究生《數(shù)值分析》課程的改革實(shí)踐[J]. 當(dāng)代教育論壇（ 綜合研究），2011（3）.

[責(zé)任編輯：陳 明]