高中數(shù)學(xué)軌跡方程解法

◆代紅英

(西安市第四十四中學(xué))

高中數(shù)學(xué)軌跡方程解法

◆代紅英

(西安市第四十四中學(xué))

高中數(shù)學(xué) 軌跡方程 參數(shù)法

求平面上動點(diǎn)的軌跡方程不僅是教學(xué)大綱要求掌握的主要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一。軌跡即點(diǎn)的集合，而方程為實(shí)數(shù)對的集合。求某種條件的動點(diǎn)軌跡的方程，其實(shí)質(zhì)就是利用已知的點(diǎn)的坐標(biāo)間的特性去尋求變量之間關(guān)系。因此，求軌跡方程的基本指導(dǎo)思想，就是充分利用題設(shè)中的幾何條件，通過“解析化”將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)式。由于動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律給出的條件千差萬別，因此求動點(diǎn)軌跡方程的方法也多種多樣，這里介紹幾種常用的方法。

一、直接法

如果動點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含X,Y的等式就得到曲線的軌跡方程。這種方法稱為直接法。

當(dāng)o

當(dāng)p=1時，所求軌跡是拋物線在y軸右側(cè)部分；

當(dāng)p1時，所求軌跡是橢圓在y軸右側(cè)部分；

注：求軌跡的步驟：1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)；2)根據(jù)條件列出關(guān)系；3)轉(zhuǎn)化為方程F(x，y)=0；4)整理化簡得軌跡方程；5)必要時進(jìn)行討論。

二、定義法

若動點(diǎn)的軌跡的條件滿足某一基本軌跡的定義(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線)，則可以根據(jù)定義直接求軌跡方程。

三、參數(shù)法

有時求動點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易的出，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)這個動點(diǎn)的運(yùn)動常常受到另一個變量(角度、斜率、比值、截距或時間)的制約，即動點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)中的x，y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以這個變量為參數(shù)，建立根據(jù)的參數(shù)方程。這種方法叫參數(shù)法。如果需要普通方程，只要消去參數(shù)即可。在求軌跡方程中，參數(shù)法的應(yīng)用較為廣泛，若參數(shù)選擇得當(dāng)，常可使問題獲得較為簡捷的解法。

注：參數(shù)法求動點(diǎn)軌跡方程的步驟：(1)建立坐標(biāo)系，設(shè)動點(diǎn)P(x，y)；(2)根據(jù)軌跡的條件，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)；(3)確定動點(diǎn)坐標(biāo)中的x，y與參數(shù)的關(guān)系式，即建立參數(shù)方程；(4)消去參數(shù)得到普通方程；(5)討論；其中確定參數(shù)是關(guān)鍵。選擇恰當(dāng)?shù)貐?shù)應(yīng)該是便于建立動點(diǎn)的參數(shù)方程，且容易消去參數(shù)。另外，但動點(diǎn)隨著動直線繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，選擇斜率k為參數(shù)比較方便。

四、交軌法

求軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點(diǎn)的軌跡問題。可通過解方程組得出交點(diǎn)含參數(shù)的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，此種方法叫交軌法。

例4：已知過拋物線=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于AB兩點(diǎn)過原點(diǎn)O作OM⊥AB垂足為M ，求點(diǎn)M軌跡方程。

解：

a.當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為x=1.此時M點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)

b.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線AB的方程y=k(x-1)，則直線OM的方程可寫成y=-x/k；兩式相乘消去k，得=-x(x-1)，即點(diǎn)M的軌跡方程為將M(1,0)代入知點(diǎn)M(1,0)在該軌跡上。

∴ M的軌跡方程為：

注：用交軌法求動點(diǎn)的軌跡方程時，不一定非要求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，只要能消去參數(shù)，得出p點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系即可。

求軌跡方程應(yīng)注意的幾個問題：

1.應(yīng)多層次、全方位地分析動點(diǎn)所滿足的全部條件，特別應(yīng)注意動點(diǎn)受到的隱含的約束條件，防止擴(kuò)大或縮小點(diǎn)集的范圍。

2.方程化簡過程中，一定要注意同解變形，對非同解變形，要注意判別x，y的存在范圍并予以說明，以確保軌跡不重不漏;

3.對實(shí)際問題，要注意實(shí)際問題對動點(diǎn)軌跡的限制；

4.要注意區(qū)別”軌跡“和”軌跡方程“是兩個不同的概念。若求動點(diǎn)的軌跡，不僅要寫出動點(diǎn)的軌跡方程，還要說明軌跡的名稱形狀特征及位置特點(diǎn)等。

另外，還有相關(guān)點(diǎn)代入法，本文不再詳述。

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(選修2-1).北京師范大學(xué)出版社，2008.

[2]高中數(shù)學(xué)解題方法.湖北教育出版社，1995.