高中數學軌跡方程解法

◆代紅英

(西安市第四十四中學)

高中數學軌跡方程解法

◆代紅英

(西安市第四十四中學)

高中數學 軌跡方程 參數法

求平面上動點的軌跡方程不僅是教學大綱要求掌握的主要內容之一，也是高考考查的重點內容之一。軌跡即點的集合，而方程為實數對的集合。求某種條件的動點軌跡的方程，其實質就是利用已知的點的坐標間的特性去尋求變量之間關系。因此，求軌跡方程的基本指導思想，就是充分利用題設中的幾何條件，通過“解析化”將其轉化為代數式。由于動點運動規律給出的條件千差萬別，因此求動點軌跡方程的方法也多種多樣，這里介紹幾種常用的方法。

一、直接法

如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，我們只需把這種關系“翻譯”成含X,Y的等式就得到曲線的軌跡方程。這種方法稱為直接法。

當o

當p=1時，所求軌跡是拋物線在y軸右側部分；

當p1時，所求軌跡是橢圓在y軸右側部分；

注：求軌跡的步驟：1)建立適當坐標系，設點的坐標；2)根據條件列出關系；3)轉化為方程F(x，y)=0；4)整理化簡得軌跡方程；5)必要時進行討論。

二、定義法

若動點的軌跡的條件滿足某一基本軌跡的定義(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線)，則可以根據定義直接求軌跡方程。

三、參數法

有時求動點應滿足的幾何條件不易的出，也無明顯的相關點，但卻較易發現這個動點的運動常常受到另一個變量(角度、斜率、比值、截距或時間)的制約，即動點的坐標(x，y)中的x，y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以這個變量為參數，建立根據的參數方程。這種方法叫參數法。如果需要普通方程，只要消去參數即可。在求軌跡方程中，參數法的應用較為廣泛，若參數選擇得當，常可使問題獲得較為簡捷的解法。

注：參數法求動點軌跡方程的步驟：(1)建立坐標系，設動點P(x，y)；(2)根據軌跡的條件，選取適當的參數；(3)確定動點坐標中的x，y與參數的關系式，即建立參數方程；(4)消去參數得到普通方程；(5)討論；其中確定參數是關鍵。選擇恰當地參數應該是便于建立動點的參數方程，且容易消去參數。另外，但動點隨著動直線繞某點旋轉時，選擇斜率k為參數比較方便。

四、交軌法

求軌跡時，有時會出現要求兩動曲線交點的軌跡問題。可通過解方程組得出交點含參數的坐標，再消去參數得出所求軌跡的方程，此種方法叫交軌法。

例4：已知過拋物線=4x的焦點F的直線交拋物線于AB兩點過原點O作OM⊥AB垂足為M ，求點M軌跡方程。

解：

a.當直線斜率不存在時，直線方程為x=1.此時M點坐標為(1,0)

b.當直線斜率存在時，設直線AB的方程y=k(x-1)，則直線OM的方程可寫成y=-x/k；兩式相乘消去k，得=-x(x-1)，即點M的軌跡方程為將M(1,0)代入知點M(1,0)在該軌跡上。

∴ M的軌跡方程為：

注：用交軌法求動點的軌跡方程時，不一定非要求出交點的坐標，只要能消去參數，得出p點坐標之間的關系即可。

求軌跡方程應注意的幾個問題：

1.應多層次、全方位地分析動點所滿足的全部條件，特別應注意動點受到的隱含的約束條件，防止擴大或縮小點集的范圍。

2.方程化簡過程中，一定要注意同解變形，對非同解變形，要注意判別x，y的存在范圍并予以說明，以確保軌跡不重不漏;

3.對實際問題，要注意實際問題對動點軌跡的限制；

4.要注意區別”軌跡“和”軌跡方程“是兩個不同的概念。若求動點的軌跡，不僅要寫出動點的軌跡方程，還要說明軌跡的名稱形狀特征及位置特點等。

另外，還有相關點代入法，本文不再詳述。

[1]普通高中課程標準試驗教科書·數學(選修2-1).北京師范大學出版社，2008.

[2]高中數學解題方法.湖北教育出版社，1995.