例析高中學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力培養(yǎng)

◆劉增花

(廣東省潮州市南春中學(xué))

例析高中學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力培養(yǎng)

◆劉增花

(廣東省潮州市南春中學(xué))

數(shù)學(xué)是一門工具性的學(xué)科，因此在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)與復(fù)習(xí)中，我們的教師應(yīng)該有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。為了更好的實(shí)施教學(xué)達(dá)成這一教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)教學(xué)實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)，提出了以下幾點(diǎn)對(duì)策：提取信息，拓展應(yīng)用；借助實(shí)際，激發(fā)興趣；設(shè)置新境，鼓勵(lì)創(chuàng)新；注重綜合，引導(dǎo)探究。

高中數(shù)學(xué) 實(shí)際問(wèn)題 學(xué)生能力

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要方面。高中學(xué)生遇到實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題或是束手無(wú)策或是一知半解，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力普遍偏低。這大致是因?yàn)樾睦韺用娴牟恢匾暬蜻^(guò)度緊張，知識(shí)層面的生活知識(shí)缺失或數(shù)學(xué)概念掌握不牢固造成的。應(yīng)全面指導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

一、提取信息，拓展應(yīng)用

我們都知道，在實(shí)際教學(xué)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了應(yīng)用數(shù)學(xué)。因此，學(xué)生需要學(xué)會(huì)從文字、表格和圖形中提取數(shù)學(xué)信息，進(jìn)行加工、整理并轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型進(jìn)而解決問(wèn)題。不管是在平時(shí)的教學(xué)中還是在考試中，很多題目對(duì)知識(shí)的考查不是原來(lái)那么單純了，而是將部分知識(shí)放在一個(gè)實(shí)際情景中進(jìn)行考查，引導(dǎo)學(xué)生提高對(duì)數(shù)學(xué)信息的提取與拓展應(yīng)用處理能力，這里面滲透的是數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。我們看幾個(gè)比較典型的例題和高考試題：

例1．(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)：某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( )。

A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45

例2.某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：

(Ⅰ)求y關(guān)于t的線性回歸方程；

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入。

案例分析：

例1、2解決起來(lái)都較為簡(jiǎn)單，但往往有些學(xué)生卻因?yàn)楹ε律踔量咕苌铑}目而未能很好解決問(wèn)題。這些問(wèn)題都將實(shí)際生活中的問(wèn)題抽象成了真實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它們建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)的概念和原理上，學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中只要掌握了基本的知識(shí)，把握對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，學(xué)會(huì)提取其中的數(shù)學(xué)信息，就能很好應(yīng)對(duì)這種看似復(fù)雜的題目。

二、借助實(shí)際，激發(fā)興趣

生活應(yīng)用型的題目是高中數(shù)學(xué)中的重要題型與常見(jiàn)題型，它們與實(shí)際相聯(lián)系，我們教師可以將此作為教學(xué)的切入點(diǎn)，以發(fā)生在學(xué)生身邊的事件、生活中經(jīng)常出現(xiàn)的物品入例，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培育學(xué)生積極的數(shù)學(xué)情感，讓學(xué)生們明白數(shù)學(xué)的最終歸宿和價(jià)值，提高學(xué)習(xí)的效率和教學(xué)的效果。

例3.如圖，某公司要在A、B兩地連線上的定點(diǎn)C建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長(zhǎng)35米，CB長(zhǎng)80米，設(shè)A、B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α和β。

(1)設(shè)計(jì)中CD是鉛垂方向，若要求α≥2β，問(wèn)CD的長(zhǎng)至多為多少(結(jié)果精確到0.01米)？

(2)施工完成后，CD與鉛垂方向有α≥2β偏差，現(xiàn)在實(shí)測(cè)得α=38.12°，β=18.45°，求CD的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.01米)？

案例分析：

本題看著比較容易，但是做得完美并不容易，它體現(xiàn)的是一定數(shù)學(xué)能力的要求。三角問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合逐漸走向高考的舞臺(tái)。在考查時(shí)，它將生活實(shí)際為依托，考查的本質(zhì)卻是不變的。所以在教學(xué)過(guò)程中，不能閉關(guān)自守，而是要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，擴(kuò)大知識(shí)面，從而提高他們的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)以及應(yīng)用能力。

三、設(shè)置新境，鼓勵(lì)創(chuàng)新

新的課改理念中最突出的一條就是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，在平時(shí)的教學(xué)中我們的教師對(duì)創(chuàng)新性的問(wèn)題應(yīng)更多關(guān)注，并引導(dǎo)學(xué)生在這類題目上多下功夫，只有這樣才能做到熟能生巧、胸有成竹。我們看一個(gè)具體的實(shí)例：

例4.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對(duì)于直線l：ax+by+c=0和點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，記η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c).若η<0，則稱點(diǎn)P1，P2被直線l分隔。若曲線C與直線l沒(méi)有公共點(diǎn)，且曲線C上存在點(diǎn)P1，P2被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線。

(1)求證：點(diǎn)A(1，2)，B(-1，0)被直線x+y-1=0分隔；

(2)若直線y=kx是曲線x2-4y2=1的分隔線，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)Q(0，2)的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E，求證：通過(guò)原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分割線。

案例分析：在本題中它給了一個(gè)新的定義，這個(gè)形式看似很新，但本質(zhì)還是考察解析幾何，只有學(xué)生抓住這一點(diǎn)，才能利用新概念解決相應(yīng)的問(wèn)題。在這整個(gè)做題的過(guò)程中實(shí)際上學(xué)生需要進(jìn)行：閱讀——理解——分析——應(yīng)用的過(guò)程，這是一個(gè)比較全面的學(xué)習(xí)過(guò)程。尤其是第三小題是存在性和唯一性證明問(wèn)題，它對(duì)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性有比較高的要求，是個(gè)難點(diǎn)。因此，在平時(shí)的教學(xué)中我們不能忽視新的題型，但一定要打好基礎(chǔ)，這樣才能以不變應(yīng)萬(wàn)變。

四、注重綜合，引導(dǎo)探究

培養(yǎng)學(xué)生的理性思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，一些試題的解答不僅僅依賴于記憶性的知識(shí)，更需要學(xué)生深入的分析。這些試題鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)一些概念的實(shí)質(zhì)進(jìn)行必要的分析，并把一些直觀的對(duì)象以理性的方式表達(dá)出來(lái)。所以在平時(shí)的教學(xué)中我們要鼓勵(lì)學(xué)生們理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及其關(guān)聯(lián)，養(yǎng)成理性的思維習(xí)慣，提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。

(1)若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范圍；

(3)若a1，a2，…，a100成等差數(shù)列，求數(shù)列a1，a2，…，a100的公差的取值范圍。

案例分析：

這是一道數(shù)列綜合問(wèn)題，它仍然立足等差與等比兩個(gè)最基本的數(shù)列，強(qiáng)調(diào)將知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通的綜合能力，它表述非常直接，直接說(shuō)明是什么數(shù)列，引進(jìn)新概念后，對(duì)指定數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)做了全面的考查和深刻的探究，綜合運(yùn)用到不等式的求解、函數(shù)的最值、恒成立等問(wèn)題的解決方法。因此，在平時(shí)的復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們要逐步養(yǎng)成學(xué)生們研究問(wèn)題的習(xí)慣，通過(guò)把經(jīng)典問(wèn)題引申、推廣等，進(jìn)行研究性訓(xùn)練，并使學(xué)生學(xué)會(huì)從反面去思考問(wèn)題，把問(wèn)題分析透徹，解決徹底，真正提高思維水平。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)中，我們的教師要注重方法的灌輸和能力的培養(yǎng)。不僅要讓學(xué)生掌握課本中的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，還要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)要做到“入腦，走腦”，引導(dǎo)他們多分析，多設(shè)疑，只有對(duì)于每章節(jié)的知識(shí)學(xué)扎實(shí)了，才能應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

[1]申磊.淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力[J]，學(xué)園，2012，(04).

[2]柳笛.高中數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)的案例的研究[D].華東師范大學(xué)，2011.

[3]韋崇裕.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)和提問(wèn)能力的研究——課堂教學(xué)中學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題的能力培養(yǎng)與訓(xùn)練[J].新課程，2014，(05).