不等式的恒成立問題研究

◆陳維正

(沈陽市第二十中學)

不等式的恒成立問題研究

◆陳維正

(沈陽市第二十中學)

不等式恒成立問題是貫穿整個高中數學的內容，也是高中數學的重點和難點，題目形式變化多端，解法也靈活多變。通過對不等式恒成立問題的梳理，把高中階段涉及到的題型和方法做了歸納總結，并就容易犯錯的地方做了提醒和分析。

不等式 恒成立 數形結合

一、不等式恒成立問題的形式

我們看看2008年上海高考試卷上的一道題，也是最常見的不等式恒成立問題，描述是這樣的，已知函數：

這里都是不等式在區間上的恒成立問題，我們有時還會遇到更簡單一些的形式，我們稱為一般的不等式恒成立問題，還是以這個例子做一些改編：

綜合上面所有形式我們發現，不等式恒成立問題都可以這樣理解：不等式的解集是集合D的子集，我們就說不等式在D上恒成立。這個D可以是一個區間，也可以是整個實數集合R。

二、不等式恒成立問題的處理方法

1.圖像法(數形結合思想)

對于不等式恒成立問題，我們可以把不等式看成是函數值恒大于(小于)某個數值，也就是函數圖像在某條平行于x軸的直線上方(下方)，這樣可能有比較方便的方法。

這個方法適用兩種題型：二次不等式在R上恒成立問題和兩不等式恒正(負)的問題。

(1)二次不等式在R上恒成立問題

(2)兩不等式恒正(負)的問題。

這類題型不是很常見，但是在2012年浙江的高考題里面出現過一次，作為填空的壓軸題，當年這道題得分率很低，很多同學都不理解題目的意思。我們一起來回顧一下這道題：

2.最值法(化歸與轉化思想)

最值法的原理與下面兩個命題成立有關：

最值法有兩個分支：①直接求最值法；②分離參變量求最值法。

(1)直接求最值法

根據上面的兩個命題，所有的不等式恒成立問題，都可以轉化成求函數的最值問題，求函數的最值我們有非常多的方法：單調性、導數、不等式，等等。高中接觸最多的是二次不等式的求最值問題，也是一個難點，我們以一個二次不等式的例子說明：

例1.關于x的不等式x2+mx+6m<0的解集包含區間(1，2)時，求實數m的范圍。

分析：這道題是我們前面描述過不等式恒成立問題中的一種，出現不等式解集包含另一個集合問題就是恒成立問題。我們這里采用求最值的方法求解。

點評：這道題是二次不等式的恒成立問題，由于是在區間上恒成立的，不能采用前面的判別式法。同樣，也不能采用后面描述的分離參變量法，基本上只能使用最值法。

(2)分離參變量法

直接求最值的方法固然是萬能的，但是函數解析式里面有參數的情況下求最值是不容易的一件事情。很多時候需要分類討論，加上大量的字母運算。如果能把參數和變量分離開來，這個問題就解決了。

三、恒成立問題解答的常見錯誤

通過對前面恒成立問題的分析，我們掌握了基本的方法和套路，但是這些方法在使用的過程中容易受到一些題目條件的影響。下面列舉幾種常見的錯誤：

1.原理性錯誤

2.邊界性錯誤

前面那道例題已經說明了，在不等號取不取等號的問題上，大家要多注意。如果函數的最值是取不到的，那么這個不等號可以加上等號。另外，如果區間是開的，也就是自變量是取不到的，那么在邊界處也是可以取等號的。其它情況，根據原來不等式符號決定是否取等號。

[1]張世林，郭東風.與時俱進的不等式恒成立與有解問題[J].數學教學研究，2006，(12)：27-30.

[2]劉衛東.一類不等式恒成立問題的錯誤解法[J].數學通訊，2008，(13).

[3]張鶴.用分離變量法解含參數的不等式恒成立問題[J].高中數理化，2006，(01)：18-19.

[4]李新星.含參數不等式恒成立問題[J].數學教學通訊，2011，(32)：28-29.