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一、什么是實現數形結合的具體方法？

“數與形”的教學，當然要關注數形結合，或者說主旨就在數形結合。但我們要考慮如何實現數與形的結合，即考慮落實數形結合的手段。比如，把兩個數的乘積理解為一個矩形的面積，即是落實數形結合的手段。通過這種手段，我們可以給乘法分配律構造幾何模型，也可以為行程問題提供直觀圖形，甚至還有人用矩形面積的分析方法解雞兔同籠問題。又如，建立平面直角坐標系，平面上的一點（形）就對應著一個有序實數對（數），從此，形與形的關系就可以用數刻畫（如兩直線垂直可以用其斜率乘積為-1刻畫），數與數之間的關系也可以用形刻畫（如方程組的解就是兩個函數圖像的交點）。

給小學生講數形結合，素材要盡量簡單，但大致也離不開上述基本思路。本課中討論兩個相等的數的乘積與正方形面積的關系，讓學生懂得看到兩個數的乘積，可以想到一個長方形；特殊的，看到兩個相等的數的乘積，可以想起一個正方形。這就是在落實數形結合。

二、為什么重視“算兩次”的思想？

在本課中，形之于數有兩個方面的意義，一是解釋現象，二是發現規律。利用一幅圖就可以說明為什么從1開始連續幾個奇數之和恰好是一個自然數的平方。這就是解釋現象。對一個圖形進行研究，從不同的角度分析它、計算它，就可能得到新的結論。這就是發現規律。本課的現象與規律，從數的角度看，基本上都以等式的形式存在。等式的左右兩邊，落實到圖形中，都是對某種幾何量的計算，比如面積、長度等。用兩種不同的方式計算同一個幾何量，就可以得到一個等式。這種思路就是“算兩次”。它是數學中重要的思想方法。

從實質上看，本課中的數與形恰好是通過對同一個幾何量算兩次實現結合的。因此，應該重視“算兩次”。

三、為什么不提“極限”？

極限思想非常重要。米山國藏在其名著《數學的精神、思想和方法》中說：“使數學真正成為科學，使數學在應用方面和純理論方面發展成為豐富而正確的科學，進步成為深奧而嚴格的科學的思想，滲透于整個數學中，并且總是在活躍著的思想，就是經過了提煉的極限思想。只要看一看，如果從今天的數學中抽去了極限思想，數學還能保留哪些內容，就能明白極限思想對數學來說是多么重要了。說得嚴重一點，這時的數學幾乎近于一無所有。”小學數學中也不能完全避免極限思想。圓的面積推導就需要應用這種思想。

筆者認為，對這個等式，問題不在計算，而在理解。即，理解無限多個數相加是怎么回事：可以加嗎？和是確定的嗎？如何確定無限多個數的和？這些問題太難理解，超出了六年級學生的認識水平。事實上，即使是成人，若沒有接受近現代數學的訓練，也很難說能真正理解這些問題。對此，華中師大趙軍在《對高中生極限概念認知狀況的調查研究》中有一個結果：分別只有7%的高一學生、24%的高二學生和50%的高三學生認為這個等式是正確的。（高三學生已經學習過極限）

直觀的幾何模型有利于計算這里的有限多個數的和，但并不能對學生理解這個等式提供好的幫助，直觀甚至還會阻礙學生理解這個等式。我們熟悉的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，一句“萬世不竭”與其說幫助我們理解這里的等于號，不如說是阻礙我們理解這個等于號。同樣，用正方形表示這個等式，其中永遠存在的那塊空白只會阻礙學生理解這個等式。正因為此，筆者在本課設計中放棄了極限思想，而只通過數形結合的方式解決有限個數的和的計算問題。（本文系湖南省教育科學“十二五”規劃立項課題（課題批準號：XJK014BJC004）子課題《小學數學學科教學中開展創新精神和創新能力培養的途徑與方法的案例研究》階段性成果）

（作者單位：長沙市教育科學研究院）