構造斜率求恒成立問題中參數的取值范圍

何方璇

在各省市的高考題中，常將導數作為壓軸題的考查對象，而導數中多涉及不等式的恒成立的證明或求解問題，本文以解決不等式恒成立問題的兩種方法比較為突破點，發現一類恒成立問題，采用構造動函數分類討論往往很困難，但若巧妙地構造斜率可以有效地降低題目的思維量和運算量，達到事半功倍的效果。

一、一道高考題的兩種解法

【2012全國大綱卷理科第20題】設函數f（x）=ax+cosx，

x∈[0，π]

（1）討論f（x）的單調性；（2）設f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍。

解：（1）略

解法1：ax+cosx≤1+sinx，x∈[0，π]等價轉換為ax+cosx-1-sinx≤0，

令g（x）=ax+cosx-1-sinx，要使g（x）≤0成立，只需使gmax（x）≤0

g′ （x）=a-cosx-sinx=a- sin（x+ ），

∵x∈[0，π]，∴ sin（x+ ）∈[-1， ]

①當a≥ 時，g′ （x）≥0，g（x）在x∈[0，π]上單調遞增，

gmax（x）=g（π）=aπ-2≤0

即a≤ ，所以a∈？準

②當a≤-1時，g′ （x）≤0，g（x）在x∈[0，π]上單調遞減，gmax（x）=g（0）=0≤0

即a∈R，所以a≤-1

③當-1

g（x）單調遞減，x∈（x0，π]，g′ （x）>0，g（x）單調遞增。所以gmax（x）為g（0）和g（π）的最大值。

g（0）≤0g（π）≤0得a≤ ，所以-1

④當-1≤a< 時，令g′（x）=0，？堝x1∈（0， ），x2∈（ ， ），

當x∈[0，x1），g′ （x）>0，g（x）單調遞增，因為g（0）=0，？堝x3∈[0，x1）使g（x3）≥g（0）=0

所以1≤a< 不成立。

綜上所述a的取值范圍為a≤ 。

解法2：ax+cosx≤1+sinx

①當x=0時，a∈R

②當x∈（0，π]時，a≤ ，

令g（x）=sinx-cosx+1= sin（x- ）+1，g（0）=0

則上式轉化為a≤ =k，其中k為函數圖象上點（x，

g（x））與點（0，g（0））連線的斜率。

由三角函數知識g（x）= sin（x- ）+1的函數性質。

在（0， ]上g（x）為下凸的單調遞增函數，在[ ， ]上g（x）為上凸的單調遞增函數，在[ ，π]g（x）為上凸的單調遞減函數。故k為先遞增后遞減的函數。

所以kmin（x）為k（π）和 k（x）中取得，

其中 k（x）為函數在點（0，g（0））處切線的斜率，

k（x）=g′（0）=1，k（π）=

∵k（π）< k（x）∴kmin（x）=k（π）= ，∴a≤

綜上所述a的取值范圍是a≤ 。

解法1構造含參數的動函數，此法的難點在于就參數a進行分類討論。若采用分離常數構造定函數利用導數求最值的辦法，需要二階求導和洛必達法則，超出了高中生的理解范圍。

解法2采用了分離常數構造割線和切線斜率的辦法，有效地規避了分類討論，也降低了求導的繁瑣程度。

二、高考中的應用舉例

1.與原點連線斜率： 型

例1.【2008全國Ⅱ】

設函數f（x）= .

（1）求f（x）的單調區間；

（2）如果對任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍。

解：（1）增區間（2kπ- ，2kπ+ ）（k∈Z）；減區間（2kπ+ ，2kπ+ ）（（k∈Z））.

（2）因為對任何x≥0，都有f（x）≤ax，于是a>0

由于函數f（x）= 是周期為2π的，

且函數y=ax是增函數，因此只需研究x∈[0，2π）情形。

又當x∈[π，2π]時，f（x）≤0，即只需研究x∈[0，π）情形。

①當x=0時，a∈R

②當x>0時，令g（x）= ，問題等價變換為a≥ =k，

其中k為函數圖象上點（x，g（x））與點（0，g（0））連線的斜率。

下面考查g（x）= 的函數性質。

g′（x）= ，g′′ （x）= ≤0

在（0， ]上g（x）為上凸的單調遞增函數，在[ ，π]上g（x）為上凸的單調遞減函數。

故k為單調遞減的函數。

所以k（x）< k（x），其中 k（x）為函數在點（0，g（0））處切線的斜率。

k（x）=g′ （0）= ∴k（x）< ，所以a的取值范圍為a≥ 。

綜上所述a的取值范圍是a≥ 。

2.非原點連線斜率： 型

例2.已知函數f（x）=（1+x）lnx；

（1）求f（x）=1處的切線方程。

（2）設g（x）= ，若對任意x∈（0，1）恒有g（x）<-2，求實數a的取值范圍。

解：（1）切線方程為y=2x-2

（2）當x∈（0，1）時，f（x）<0，x-1<0，g（x）<-2故a<0；

g（x）<-2可等價變換為a>

令h（x）=（1+x）lnx，則上式轉化為a>- · =- k，其中k為函數圖象上點（x，h（x））與點（1，h（1））連線的斜率。

下面考查h（x）=（1+x）lnx的函數性質。

由h′ （x）=lnx+ +1，h′′ （x）= <0，h′ （x）在（0，1）上單調遞減，

h′ （x）>h′ （1）=2>0

所以h（x）在（0，1）上是上凸的單調遞增函數，故k為單調遞減的函數。

所以k（x）> k（x），其中 k（x）為函數在點（1，h（1））處切線的斜率。

k（x）=h′ （0）=2

∴k（x）>2，- k<-1所以a的取值范圍為a≥-1。

綜上所述a的取值范圍是a∈[-1，0）。

3.代換轉化型：

例3.【2011年高考全國新課標卷理科21】

已知函數f（x）= + ，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0。

（1）求a、b的值；

（2）如果當x>0，且x≠1時，f（x）> + ，求k的取值范圍。

解：（1）a=b=1

（2）當x>0，且x≠1時，f（x）> + 等價變換為k< +1

令t=x2，則x= ，1-k> ，設p（t）= lnt，則1-k> = =m

其中m為函數圖象上點（t，p（t））與點（1，p（1））連線的斜率。

以下考查p（t）= lnt的函數性質。

p′（t）= （lnt+2），p′′ （t）=- lnt

p（t），p′ （t），p′′ （t）在區間（0，+∞）上的情況如下：

所以p（t）在（0， ）上為下凸的遞減函數，在（ ，1）上為下凸的遞增函數，在（0，+∞）上為上凸的遞增函數，即m值先增大再減小，在t=1時取最大值。

所以m（t）> m（t），其中 m（t）為函數在點（1，p（1））處切線的斜率。

m（t）=p′（1）=1∴m>1，1-k>1所以k的取值范圍為k≤0。

綜上所述a的取值范圍是k≤0。

三、教學反思

在高中數學中，有關函數和不等式的問題，學生大多數想到就是構造函數，通過求導證明單調性來研究問題。經過多年的訓練，學生已經形成了思維定勢，很難有新的突破。其實跳出固有思維，利用函數圖象直觀地理解問題，抓住問題的本質，往往可達到柳暗花明的效果。導數的本質是斜率的極限，從這個意義上來說，斜率更是至關重要。

參考文獻：

熊欣，徐章韜.拉格朗日中值定理的初等化應用[J].數學通訊，2012（07）.

編輯 溫雪蓮