巧用導數求最值

姚士長

導數是高中數學學習的重點內容，它的引入對函數的單調性、極值、最大（小）值的研究開辟了一條捷徑，也為數學的學習增添了色彩。它能使比較復雜的問題簡單化，使數學問題與實際應用更加緊密。導數的應用已成為高考的一個熱點，下面我們將探討導數在求最值方面的應用。

例題：已知函數f（x）=ax-lnx（a∈R）

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在x=2處切線的斜率；

（2）求f（x）的單調區間；

（3）當a>0時，求f（x）在區間（0，e]上的最小值。

解：（1）當a=1時，f（x）=x-lnx，f ′ （x）= （x>0）

故曲線y=f（x）在x=2處切線的斜率為 。

（2）f ′（x）=a- = （x>0）

當a≤0時，由于x>0，故ax-1<0，f ′（x）<0。所以f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）。

當a>0時，由f ′（x）=0，得x= 。在（0， ）上，f ′（x）<0，在（ ，+∞）上，f ′（x）>0。

所以，函數f（x）的單調遞減區間為（0， ），單調遞增區間為（ ，+∞）。

綜上所述，當a≤0時，f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）；

當a>0時，函數f（x）的單調遞減區間為（0， ），單調遞增區間為（ ，+∞）。

（3）根據（2）得到的結論：

當 >e，即0

當 ≤e，即a≥ 時，f（x）在區間（0，e]上的最小值為f（ ），f（ ）=1-ln =1+lna

綜上所述，當0

當a≥ ，f（x）在區間（0，e]上的最小值1+lna

解析：本題主要考查了導數在研究函數中的應用。利用導數求最值的步驟。求函數f（x）的極值的步驟：（1）確定函數的定義區間，求導數f ′（x）。（2）求方程f ′（x）=0的根。（3）用函數的導數為0的點，將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格，檢查f ′（x）在方程根左右的值的符號。如果左正右負，那么f （x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f （x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則f （x）在這個根處無極值。（4）將f （x）的各極值與區間端點值f（a）、f（b）比較得出函數f （x）在[a，b]上的最值。

編輯 溫雪蓮