習題課的教學中對“錯題”的一次亮劍

孫如敏

摘 要：把解題看成是一種純粹的智力活動是片面的，對于個人而言如果遇到的題目是較容易的，那么，只要稍微思考一下就可以解決了。個人的情感意志在做題的過程中所起的作用顯然不是主導的。但是如果題目難度較大，那么只有靠毅力才能堅持長時間的艱辛思考，忍受痛苦的挫折才能夠成功。顯然個人的意志在解題過程中所起的作用是不可忽視的。

關鍵詞：個人意志；創(chuàng)造性活動；亮劍

案例：在平面四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，且AB=1，EF= ，CD= ，若 · =15，則 · 的值為？（南通13年3檢）

以下是三個學生給出的三種不同解法：

解法一：（學生甲） = + ， = + ，

連接AF延長至H點，使得AF=FH，連接DH從而△ABF≌△HCF，因此有

AB CH從而 = 。易知線段DH=2 ，在△DCH中，DC= ，

反思：這里竟然不可思議地算出了cos∠DCH= =- <-1，從而我們可以得出這樣的結(jié)論：此平面四邊形不存在。面對這道題用分解手段處理乃是較為常規(guī)的。然而有個學生（不妨稱為學生乙）在面對這道題目時發(fā)現(xiàn)在分解暫時不能解決時并沒有選擇放棄而是通過深思熟慮，突然想到了建系的方式來解決此題。

解法二：（學生乙）建立以A為原點，AB為x軸的平面直角坐標系，則A（0，0），B（0，0），C（x1，y1），D（x2，y2），因為E和F分別是線段AD和BC的中點。從而E（ ， ），F(xiàn)（ ， ），CD= = ，從而（x1-x2）2+（y1-y2）2=3 ①，EF= = 2，從而2= + 即有（x2-x1）2-2（x2-x1）+1+（y2-y1）2=8 ②，聯(lián)合①②整理得之x2-x1=

-2代入①得（y2-y1）2=-1，故不存在此平面四邊形，此題錯誤。

以上兩種解法從各自角度闡述了在平面中是不可能出現(xiàn)這樣的四邊形的，此種做法引起了很多學生的共鳴，認為此題錯誤，但不管怎樣，解決此題的這兩種方法都是值得借鑒的。然而也有個別學生（學生乙）提供了一種新的處理手段，而且這種證明方式看起來沒有無瑕疵。

解法三：（學生丙）由上述第二種方法得 · =15+ ·

綜合以上三種做法，唯獨第三種做法沒有邏輯上的瑕疵，究其原因在于滿足條件的四邊形平面上沒有，但三維空間中是存在的。為了讓學生親身體驗這種幾何狀態(tài)是否存在？筆者用幾何畫板給出了真實的存在的立體圖形，從而大大提高了學生的學習興趣。

我們學習數(shù)學時在于從解題的過程中享受思考的快樂，作為中學生善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到的和有發(fā)明創(chuàng)造的題。由于教師的很多工作是根據(jù)升學率或?qū)W生整體的考試成績來給予評定，因此幾乎所有的教師都樂于選擇范例。然而數(shù)學的特征是：公式繁多，內(nèi)容復雜，問題形式變化無窮。可是將這樣的范例付諸教學時，教師卻又往往選擇只是給學生講解和介紹題目的多種解法，而很少講解產(chǎn)生多解的思維過程，而解題教學的重要內(nèi)容和意義就是要揭示解題的中的數(shù)學思維。因而，有不少教師強調(diào)“類型歸類”即把數(shù)學題分為十幾類甚至幾十類，分門別類地向?qū)W生講述，他們教育學生遇到問題時對號入座，我認為這種方法固然有他一定的長處，但容易使學生思維僵化。

把解題看成是一種純粹的智力活動是片面的，對于個人而言如果遇到的題目是較容易的，那么我們只要稍微思考一下就可以解決了。個人的情感意志在做題的過程中所起的作用顯然不是主導的。但是如果題目難度較大，那么我們只有靠毅力才能堅持長時間的艱辛思考，忍受痛苦的挫折才能夠成功。顯然個人的意志在解題過程中所起的作用是不可忽視的。

如何有效地主組織高中數(shù)學解題教學，是歷年數(shù)學教學研究中最熱門的課題。所以我們在教學的過程中不僅要求學生直接參與解題，更要求學生能參與解題的思維活動。解題活動是學生在數(shù)學學習中最具有獨立性的創(chuàng)造性活動，應當鼓勵學生在解題過程中對于較難的題目敢于亮劍，敢于亮劍的品質(zhì)對發(fā)展學生的思維、培養(yǎng)學生的能力、促進學生良好品質(zhì)結(jié)構(gòu)方面具有重要的作用。

編輯 溫雪蓮