珍愛課本里的“小蘋果”

王修湯

“你是我的小呀小蘋果，怎么愛你都不嫌多……”

課本里有好多與圓有關(guān)的問題，這些問題就像一個(gè)個(gè)紅紅的小蘋果，掛在課本這棵知識(shí)大樹上，它們散發(fā)著濃郁的香味，讓我們?yōu)橹裕瑸橹畠A倒.如果我們不能發(fā)現(xiàn)它，那么就喪失了獲取營養(yǎng)的寶貴機(jī)會(huì)，下面讓我們以一道課本例題為引，來看看同學(xué)們都是怎么思考的.

一、課本例題

課本例題 如圖1，在半圓形的鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取使這個(gè)矩形的面積最大？

面對(duì)這個(gè)問題，同學(xué)們會(huì)有些什么想法呢？毫無疑問，半圓的半徑應(yīng)該是定值R，怎么表示矩形ABCD的面積S呢？甲、乙兩位同學(xué)給出了以下兩種解法.

那么為什么這個(gè)問題設(shè)角θ為自變量比較簡單呢？仔細(xì)研究可以發(fā)現(xiàn)，是因?yàn)辄c(diǎn)C在半圓上運(yùn)動(dòng)，引起了其他幾個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，從而矩形的形狀也同時(shí)發(fā)生了改變.那么點(diǎn)C又是如何運(yùn)動(dòng)的呢？難道是無規(guī)則的布朗運(yùn)動(dòng)（化學(xué)中分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)）？不是！它繞著圓心0作圓周運(yùn)動(dòng)，這樣一來，我們自然而然就想到設(shè)圓心角∠BOC=θ為自變量了.

二、課本習(xí)題

像例題那樣，點(diǎn)在圓周（或圓弧）上運(yùn)動(dòng)的問題，我們一般都是選擇一個(gè)角作為自變量，再看課本中的兩道習(xí)題.

習(xí)題1 在一個(gè)圓的所有內(nèi)接矩形中，怎樣的矩形面積最大？

這個(gè)問題就是：矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓，當(dāng)矩形為何形狀時(shí)，矩形的面積最大.

方法2 如圖3，連結(jié)AC.在（直徑AC所分的）每一個(gè)半圓中，直角三角形斜邊長2r一定，斜邊AC上的高最大時(shí)，每一個(gè)直角三角形面積最大，矩形面積最大.在Rt△ABC中，過B作AC的垂線，垂足為H，當(dāng)H與圓心0重合時(shí)，BH最大，Rt△ABC面積最大，此時(shí)矩形為正方形，其面積也最大.

方法3 如圖4，設(shè)AB=x，則AD=

比較一下三種解法，你就不難發(fā)現(xiàn)設(shè)角為自變量的優(yōu)勢.

習(xí)題2 （此題也是人教版例題） 如圖5，在半徑為R、圓心角為60。的扇形AB弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形MNPQ，使點(diǎn)Q在OB上，點(diǎn)M，N在OA上，求這個(gè)矩形面積的最大值及相應(yīng)的∠AOP的值.

你一定覺得習(xí)題1好做，甚至有三種方法，而習(xí)題2就不知怎么下手，甚至不會(huì)做.

通過習(xí)題1的解決總結(jié)出的解決問題的方法你注意到了嗎？你關(guān)注的是如何更快地獲得結(jié)果，而解決問題過程中所反映出來的方法在不經(jīng)意間卻流失掉了.

其實(shí)解決習(xí)題2與解決習(xí)題1的過程是一樣的！這就是：

第1步：找出影響函數(shù)值變動(dòng)的因素，選擇自變量；

第2步：用含自變量的代數(shù)式表示函數(shù)式中要用的其他量；

第3步：建立目標(biāo)函數(shù)，明確定義域；

第4步：求出最值，并指出相應(yīng)的自變量的值；

第5步：答（回答實(shí)際問題的解決辦法等）.

三、小試牛刀

像這樣的“小蘋果”也經(jīng)常出現(xiàn)在各種試卷上，同學(xué)們，想到設(shè)角為自變量了嗎？讓我們“小試牛刀”！

試題1 （南京市2011屆高三一模）如圖1，在半徑為30cm的半圓形（0為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點(diǎn)A，B在直徑上，點(diǎn)C，D在圓周上.（1）怎樣截取才能使截得的矩形ABCD的面積最大？并求最大面積；（2）略，