旋轉運動的疊加

黃曉勇

在三角函數學習過程中，我們通過單擺、彈簧振子、圓上一點的運動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實例，感受到周期現象的廣泛存在，認識到周期現象的變化規律，體會到三角函數是刻畫周期現象的重要模型.那么我們有理由相信：“三角函數的疊加”自然就與“周期運動的疊加”存在某種必然聯系.在這里，我們非常有必要介紹法國數學家傅立葉（J.B.J.Fourier）在1807年率先提出的無窮級數理論：“任何周期函數都能用若干個正、余弦函數的和（一般為無窮和）來表示”.也可簡單敘述為：由1，coskx，cos2kx，cos3kx，…；sinkx，sin2kx，sin3kx，…中若干個函數的和所得到的函數仍是周期函數.多么令人驚訝！cosbx即可看成兩個旋轉運動的疊加，作周期運動.

有了上述認知后，讓我們將目光聚焦兩角和與差的三角函數，從三角函數的本質（點的旋轉運動）的角度再次審視這些公式，cosαsinβ，是由兩個函數y=sinαCOSβ與函數y—cosαsinβ疊加而成，實質上是多個旋轉運動的疊加.

同樣，兩角和與差的余弦函數，你又會怎么看？毋庸多說，你應了然，它們都可以看做是旋轉運動的疊加.

原來如此！這是不是也驗證了數學所追尋的簡單簡約，其實就是一種更高層次的返璞歸真，是對數學學習本質的一種回歸？

在上述研究過程中，我們不妨把周期相同的正弦與余弦函數的和f（x）=Asinx+Bcosx（其中實數A，B不全為0）稱為正弦函數與余弦函數的疊加.顯然，asin（x+θ）=asinxcosθ+acosxsinθ=Asinx+Bcox，所以形如asin（x+θ）的函數是正弦函數與余弦函數的疊加.形如acos（x+θ）的函數自然也是如此.

反過來想，是不是所有的正弦函數與余弦函數的疊加都可以化為asm（x+θ）或acos（x+θ）的形式呢？

實際上，函數f（x） =Asinx+Bcosx可改寫為

由此可見，任意的正弦函數與余弦函數的疊加函數f（x）都可以化為asin（x+θ）或acos（x+θ）的形式，而且周期不變.像這樣將兩個同周期的正、余弦函數的和（差）合并為一個三角函數的變形過程叫“合一變形”，它是解三角函數問題的一個重要的方法.

其實運動的疊加原理在其他學科中有更廣泛的應用，如物理學中的單擺運動、彈簧振子、交流電、波的傳播等，

曾經有人將“三角函數”、“平面向量”、“三角恒等變換”比作一棵大樹的三大分枝，作為一個簡單又基本的周期運動的例子，“圓周上一點的旋轉運動”則是這棵大樹的“根”.相信在我們走近這棵大樹，感悟它枝繁葉茂，博大精深的同時，也一定懂得了許多數學生長的規律，懂得了許多學習數學和學會學習的基本原理，這將會使得三角函數的學習更簡單、更自然.