六談由悖論看概念的可操作性
——評陳波《思維魔方》，兼析“EPR悖論”及“圖靈停機問題”

黃汝廣

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六談由悖論看概念的可操作性
——評陳波《思維魔方》，兼析“EPR悖論”及“圖靈停機問題”

黃汝廣

針對陳波《思維魔方》的“希爾伯特超級旅館”部分進行了簡短評析，同時指出反證法必須滿足的四個基本要求，并通過分析“EPR悖論”及“圖靈停機問題”，強調(diào)了排除隱性假設(shè)對反證法的重要性。

希爾伯特超級旅館；反證法；隱性假設(shè)；EPR悖論；圖靈停機問題

陳波先生的《思維魔方——讓哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家糾結(jié)的悖論》是其學(xué)術(shù)專著《悖論研究》的一個通俗版本，被譽為“國內(nèi)第一本關(guān)于悖論的邏輯科普”［1］。悖論一直是一個很有趣的話題，然而“悖論雖然重要，但它們對于關(guān)于基礎(chǔ)的辯論的影響被夸大了。”［2］

《思維魔方》對康托爾的實無窮與對角線法贊譽有加，并分析了所謂的希爾伯特超級旅館。陳先生認(rèn)為，希爾伯特的解答，對應(yīng)了一些諸如“?0+n=?0”“?0+?0=?0”的算式，表明“普通算術(shù)的很多運算對超窮數(shù)失效”，“在常識的眼光看來，無窮確實太怪異了！”比如按常識，“?0+n=?0”兩邊同時減去?0，結(jié)果是“n=0”！

事實上，在康托爾集合論中，“?0+n=?0”與數(shù)的運算并無任何關(guān)系，它只不過是如下法則的一個方便記憶的“符號式簡寫”：一個無窮可數(shù)集增加有限個元素后，仍然是一個無窮可數(shù)集。然而，這個法則本質(zhì)上卻混淆了實無窮與潛無窮。比如：當(dāng)希爾伯特說超級旅館住滿了旅客時，是實無窮；而當(dāng)他將已入住旅客依次后挪以空出前面的房間時，又是潛無窮了！

筆者曾論證，由于對角線法存在漏項問題，康托爾關(guān)于（0，1）不可數(shù)的證明根本無效。實際上，即便不漏項，其證明仍然無效：按照實無窮觀，實施“一一對應(yīng)”操作之后，就不應(yīng)還有潛在未對應(yīng)的數(shù)，但對角線法偏偏構(gòu)造出了另外的“新”數(shù)，這顯然只能求助于潛無窮了；退一步，就算“新”數(shù)是實無窮的，但只要可數(shù)，根據(jù)“?0+?0=?0”，最終結(jié)果也必然可數(shù)！

在該書的“邏輯預(yù)備知識”一節(jié)，陳先生對歸謬式、反證式推理作了一些介紹，然而不夠詳盡。筆者認(rèn)為，從操作主義的觀點看，一個有效的歸謬法或反證法論證，應(yīng)符合下列要求：（1）排除一切隱性假設(shè)，保證想要否定的假設(shè)是唯一的；（2）推理過程有效，并能在有限步驟內(nèi)完成，或者符合完全歸納法；（3）矛盾和假設(shè)必須有邏輯關(guān)系，一旦否定假設(shè)，矛盾應(yīng)隨之消除；（4）矛盾的導(dǎo)出必須涉及不依賴于假設(shè)的事實（或原理、定理等）。只有滿足了以上條件，我們才好斷言矛盾的根源是在于“唯一假設(shè)”與“事實”不相容，并進而根據(jù)矛盾律否定“唯一假設(shè)”。

關(guān)于假設(shè)“唯一”的重要性，在著名的“EPR悖論”中體現(xiàn)的最為充分。按照馬克斯·雅默《量子力學(xué)的哲學(xué)》的分析，“EPR悖論”的論證包含了四個前提假設(shè)［3］：（1）物理實在性判據(jù)；（2）理論完備性條件；（3）量子力學(xué)的有效性；（4）相互作用的定域性。那么邏輯上講可以否定上述任何一個假設(shè)，但結(jié)果就是愛因斯坦和玻爾兩人各說各話。

我們知道，愛因斯坦對量子力學(xué)的幾率解釋很不滿意，他不相信上帝在擲骰子。其實在“EPR悖論”之前，愛因斯坦主要是想挑戰(zhàn)量子力學(xué)的有效性，但都被玻爾一一化解了，不得已，才承認(rèn)其有效性，轉(zhuǎn)而否定完備性：認(rèn)為量子力學(xué)的幾率描述，是由于漏了一個未知的隱變量，而考慮隱變量的完備理論將給出確定性描述。

實際上，“EPR悖論”的關(guān)鍵是愛因斯坦認(rèn)為量子糾纏態(tài)不合理［4］，然而量子糾纏態(tài)又是量子力學(xué)的必然推論，因此在邏輯上，或許更應(yīng)該否定其有效性，而不是完備性。不然，所謂的不完備就只是指適用范圍不夠大，并不是相對于隱變量理論而言的。

要談?wù)摲醋C法，“圖靈停機問題”當(dāng)然是不可回避的，依據(jù)張再躍《數(shù)理邏輯》，其論證如下［5］：

“假設(shè)停機問題可解，則存在能行過程H，對任意程序Pe與輸入X，H能判斷Pe對輸入X是否停機，設(shè)當(dāng)Pe對輸入X停機時有H（Pe，X）=1，當(dāng)Pe對輸入X不停機時有H（Pe，X）=0。利用H定義過程F：對任意自然數(shù)n，若H（Pe，n）=1，則F（n）=H（Pe，n）+1；若H（Pe，n）=0，則F（n）= 0。因為過程H是能行的，所以過程F也是能行的，設(shè)計算F的程序編號為e0，則F可表示為Pe0，即對任意n均有F（n）=Pe0（n）。接下來考察程序Pe0對輸入e0的情況：若停機，則H（Pe0，e0）=1，從而F（e0）=Pe0（e0）+1≠Pe0（e0）；若不停機，則Pe0（e0）無定義，而由H（Pe0，e0）=0，卻得F（e0）=0≠Pe0（e0）。上述矛盾表明，停機問題是不可解的。”

首先，既然“若H（Pe，n）=1，則F（n）=H（Pe，n）+1”，為什么不把H（Pe，n）=1代入，從而得出F（n）=1？（這里1和0是表示狀態(tài)，故只能按布爾代數(shù)計算。）實際上，在筆者看來，拿“若H（Pe，n）=1，則F（n）=1”來對應(yīng)“若H（Pe，n）=0，則F（n）= 0”，是再自然不過的事。

簡而言之，上述定義不過就是F（n）=H（Pe，n）而已；但如此一來，“若停機，則H（Pe0，e0）=1，從而F（e0）=Pe0（e0）+1≠Pe0（e0）”這個所謂的矛盾就不存在了！至于“若不停機，則Pe0（e0）無定義，而由H（Pe0，e0）=0，卻得F（e0）=0≠Pe0（e0）”這個所謂的矛盾，筆者認(rèn)為很讓人費解：因為按定義，Pe0（n）=F（n），又“因為過程H是能行的，所以過程F也是能行的”，那么程序Pe0當(dāng)然也是能行的；這也就是說，對于任何輸入，程序Pe0總是能夠停機。

同時我們還發(fā)現(xiàn)，在定義中任意程序Pe的輸入X都被換成了自然數(shù)n，但對那些輸入不是自然數(shù)的程序該怎么辦呢？另有一種論證思路如下：利用萬能圖靈機H來構(gòu)造一個新程序D，它以H的輸出為輸入，若輸入為1則不停機，若輸入為0則停機。再用H來判定D，則導(dǎo)致矛盾：如果H判定D可停機，則D的輸入為1，結(jié)果D不停機；如果H判定D不停機，則D的輸入為0，結(jié)果D停機。

退一步講，即使每個程序的輸入都是自然數(shù)，定義仍然存在問題：假如H（P1，n）=1，H（P2，n）=0，F(xiàn)（n）=？事實上，含兩個獨立變量的函數(shù)不可能簡化為只有一個獨立變量！要避免這個問題，似乎應(yīng)該這樣定義——對任意自然數(shù)n，F(xiàn)（n）=H（Pn，n）；但這就需要Pn與n有某種確定的函數(shù)關(guān)系，比如Pn=T（n）：也即任給一個自然數(shù)n，就可以通過函數(shù)T生成一個特定的程序Pn；顯然，函數(shù)T的存在只能是一個假設(shè)，這也就是說，否定H其實并非唯一選擇！

很顯然，這里所構(gòu)造的D是一個死循環(huán)！而我們要問的是，一個程序要如何界定？或者說，死循環(huán)真是程序嗎？筆者認(rèn)為，一個程序的核心應(yīng)該是其功能，沒有任何功能的死循環(huán)，是錯誤而不是程序！

假設(shè)死循環(huán)是程序，那么萬能圖靈機H就必須滿足如下條件：能夠判斷死循環(huán)不可停機，并且整個判斷過程不能觸發(fā)死循環(huán)！但是，以H的輸出為輸入的死循環(huán)D卻又必然會被觸發(fā)。要消除這里所謂的矛盾，除了否定“萬能圖靈機H”外，否定“死循環(huán)是程序”同樣可以達到目的；而且，由于“萬能圖靈機H”只是一個假設(shè)，以H的輸出為輸入的所謂新程序D也就只能是一個假設(shè)，因此我們還有第三個選擇——以H的輸出為輸入的死循環(huán)不是程序！

這后一種選擇，筆者其實是受了羅素的啟發(fā)，我們知道，為了消除所謂的“羅素悖論”，羅素對“集合”與“類”的概念進行了區(qū)分——所有集合都是類，但并非所有類都是集合，不是集合的類為真類；而不屬于自身的集合所構(gòu)成的類，是一個真類。

我們還曾指出，否定式的自我指涉，其實違反了同一律，在邏輯上是一個矛盾式，也即A=非A；但是，這種不涉及任何事實的自我否定式的矛盾，對于反證法并沒有任何意義，而所謂新程序D的構(gòu)造，恰恰是利用了否定式的自我指涉。

事實上，假設(shè)存在萬能圖靈機H，即使一個程序P對輸入X不停機，我們也能將其改造為可停機的：先調(diào)用H判斷P對輸入X是否停機，如果判斷停機，則對P輸入X進行運算，并輸出最終結(jié)果；如判斷不停機，則不對P輸入X，而直接輸出——“別浪費時間了，洗洗睡吧！”

當(dāng)然，這并不意味著存在萬能圖靈機H，實際上，筆者倒是非常認(rèn)同不存在萬能圖靈機H的觀點，但認(rèn)為它是不可能被證明的，至少上述兩種證明都是不能讓人滿意的。

總之，對于反證法論證，排除一切隱性假設(shè)至關(guān)重要，而導(dǎo)致隱性假設(shè)的主要根源是概念界定不嚴(yán)格，沒有可操作性，結(jié)果把一些似是而非的東西引入了進來。悖論產(chǎn)生的根源，其實也在于此，比如“飛矢不動悖論”，芝諾根本沒有對“飛”“動”進行任何界定，就大談起“不動”來。

［1］陳波.思維魔方——讓哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家糾結(jié)的悖論［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2014.

［2］高爾斯，主編.齊民友，譯.普林斯頓數(shù)學(xué)指南［M］.北京：科學(xué)出版社，2014.

［3］馬克斯·雅默.秦克誠，譯.量子力學(xué)的哲學(xué)［M］.北京：商務(wù)印書館，2014.

［4］李曉.淺談EPR悖論與量子糾纏［J］.科技創(chuàng)新與應(yīng)用，2015（29）：74.

［5］張再躍.數(shù)理邏輯［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2013.

（作者單位：深圳南天電力有限公司）

10.16653/j.cnki.32-1034/f.2016.18.025