高考視角下的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

朱亞嬌

數(shù)列的相關(guān)知識(shí)和方法是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)銜接緊密的內(nèi)容之一，因而也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用自然就成為高考考查的重點(diǎn).但數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法又是在考前復(fù)習(xí)中容易膨脹的內(nèi)容，如何準(zhǔn)確界定復(fù)習(xí)范圍，既能做到考前復(fù)習(xí)全面有效，又不突破界限，浪費(fèi)寶貴的復(fù)習(xí)時(shí)間，是擺在每一個(gè)高三教師和同學(xué)面前的問題.本文擬以歷年高考試題為例說明數(shù)列通項(xiàng)公式的基本求法.

一、歸納猜想法

通過觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)的內(nèi)在規(guī)律，歸納、猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.這種類型的試題一般以選擇題的形式出現(xiàn).

例1：（2009湖北）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，他們通過擺出三角形發(fā)現(xiàn)了數(shù)1，3，610，…，這些數(shù)稱為三角形數(shù)，由正方形發(fā)現(xiàn)數(shù)列1，4，9，16，…，稱為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（？搖 ？搖）

A.289？搖？搖B.1024？搖？搖C.1225？搖？搖D.1378

解析：解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是，求出題中給出的兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.首先觀察1，3，6，10，…可得它的通項(xiàng)公式為a■=■，觀察1，4，9，16，…，可得其通項(xiàng)公式為，b■=n■，將1225代入可得1225是數(shù)列{a■}的第44項(xiàng)，1225同時(shí)又是數(shù)列{b■}的第35項(xiàng)，故選A.

二、根據(jù)S■與a■的關(guān)系確定通項(xiàng)公式

已知數(shù)列{a■}的前n項(xiàng)和S■，通過關(guān)系a■=S■？搖？搖n=1S■-S■？搖？搖n≥2可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例2：已知數(shù)列{a■}的前n項(xiàng)和S■，S■=2a■，且a■=1，則S■=（？搖？搖？搖）

A.2■？搖？搖B.（■）■？搖？搖C.（■）■？搖？搖D.■

解析：因?yàn)閍■=S■-S■代入條件可得S■=2（S■-S■），所以S■=2S■，可知數(shù)列{S■}為等比數(shù)列，由S■=a■=1，得S■=2n-1，所以選A.

三、待定系數(shù)法（或公式法）

如果已知數(shù)列為等差或者等比數(shù)列，則可以直接使用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用待定系數(shù)法確定其通項(xiàng)公式.

例3：（2012湖北）已知等差數(shù)列{a■}的前三項(xiàng)的和為-3，前三項(xiàng)的積為8，求數(shù)列{a■}的通項(xiàng)公式.

解析：問題已知數(shù)列為等差數(shù)列，故可以利用其通項(xiàng)公式a■=a■+（n-1）d求解.于是a■+a■+a■=-3a■a■a■=8，代入可得a■+d=-1a■（a■+2d=-8，解得a■=-4，d=3，或者a■=2，d=-3，所以其通項(xiàng)公式為：a■=3n-7或者a■=5-3n.

四、逐差法

如果能將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為：a■-a■=f（n），且f（n）（n=1，2，3，4，…）能求和，則可以逐差法（累加法）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例4：（2010年新課標(biāo)）設(shè)數(shù)列{a■}滿足a■=2，a■-a■=3·2■，求數(shù)列{a■}的通項(xiàng)公式.

解析：因?yàn)閍■-a■=3·2■，當(dāng)n=1、2、3、4、…，n時(shí)依次得到：a■-a■=3·2，a■-a■=3·2■，a■-a■=3·2■，…，a■-a■=3·2■.以上各式相加可得：

a■-a■=3·2+3·2■+3·2■+…+3·2■=3■=3·4■-2，所以a■=2·4■.

五、構(gòu)造法

對于形如a■=pa■+q（*）型的遞推關(guān)系，可以采用構(gòu)造新數(shù)列的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，（*）可以構(gòu)造為：a■+t=p（a■+t）（其中t=■），再令b■=a■+t，則{b■}為等比數(shù)列.

例5：已知數(shù)列{a■}中，已知a■=■，a■=4a■+1（n≥2），求數(shù)列{a■}的通項(xiàng)公式.

解析：設(shè)a■+t=4（a■+t）（n≥2），可得a■=4a■+3t，與條件式a■=4a■+1比較可得t=■，令b■=a■+■得：■=4，故數(shù)列{b■}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為b■=a■+■=■，所以通項(xiàng)為b■=■·4■，因而a■=■·4■-■.

通過對以上的例題分析，我們可以初步窺探關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)公式的求法的幾種主要求法.在考前復(fù)習(xí)中，一定注意不要人為擴(kuò)大復(fù)習(xí)范圍，從而給考前復(fù)習(xí)造成困難，浪費(fèi)寶貴的考前復(fù)習(xí)時(shí)間.