利用Casio圖形計算器探究關于求參數范圍的問題

霍子偉

摘 要： 含參數問題是綜合性很強的問題，是近年高考綜合題的熱點考點，解決這類問題需要學生有較好的數學素養和較強的數學能力.本文主要論述如何利用圖形計算器探究關于求參數范圍的問題.

關鍵詞： 參數 圖形計算器 數形結合 化歸思想

1.引言

Casio圖形計算器擁有代數運算、圖像、統計、編程及幾何等功能，當中的計算矩陣、統計、電子教案、數據表格等14個模塊全面覆蓋高中數學教材，滿足各種數學教學需要，同時它還能與電腦相連，實現教學內容的同步投影.

2.函數的單調性與參數的取值范圍

通過圖形計算器，用新的視覺縱觀高考題目.

例1：（2013高考數學廣東理科第21題）設函數f（x）=（x-1） e■-kx■（k∈R）.

（1）當k=1時，求函數f（x）的單調區間；

（2）當k∈（■，1]時，求函數f（x）在[0，k]上的最大值M.

解：（1）當k=1時，輸入函數y=（x-1）e■-x■，按Ly，分別選擇y，e，得出函數的極大值與極小值.得出f（x）的單調區間的單調遞增區間是（-∞，0）和（0.69314，+∞），單調遞減區間是（0，0.69314）.其中0.69314約為ln 2.

（2）探究一：觀察函數f（x）=（x-1）e■-kx■（k∈（■，1]）的圖像，定義域設為R.函數動態圖像如下圖所示：

動態分析：雖然可以看到函數f（x）在定義域R上的圖像隨參數k值變化的趨勢，但由于定義域（-∞，+∞）是開區間，在圖像上不能確定閉區間[0，k]上的最大值.

探究二：觀察函數f（x）=（x-1）e■-kx■（k∈（■，1]）的圖像，定義域設為[0，k].函數動態圖像如下圖所示：

動態分析：隨著參數k的變化，函數f（x）圖像在變動，與此同時函數的定義域也在變動.圖像看似毛毛蟲在爬動，圖像形象具體，但是由于k的變化既影響函數的單調性，又影響著定義域的范圍，因此仍然無法得出函數的最大值M.

探究三：觀察函數f（x）=（x-1）e■-kx■（k∈（■，1]）的圖像，由于k∈（■，1]，其最大值為1，因此將定義域調節為[0，1].函數動態圖像如下圖所示：

動態分析：可觀察到在確定區間[0，1]上，函數f（x）呈現一定的下降與上升的趨勢，這種趨勢引領我們先研究函數f（x）在確定的閉區間[0，1]上的單調性，并以此作為本題的切入點，再通過比較定義域端點k值與極小值ln 2k的大小進一步求解，體現從宏觀到微觀的解題思路.具體證明過程如下：

證明：f′（x）=e■+（x-1）e■-2kx=xe■-2kx=x（e■-2k），

令f′（x）=0，得x■=0，x■=ln（2k）∈（0，ln 2]？哿[0，1]，

下面比較ln 2k與k的大小.

令g（k）=ln（2k）-k，則g′（k）=■-1=■>0，所以g（k）在（■，1]上遞增，

所以g（k）≤ln 2-1=ln 2-lne<0，從而ln（2k）

所以當x∈（0，ln（2k））時，f′（x）<0；當x∈（ln（2k），+∞）時，f′（x）>0，

所以M=max{f（0），f（k）}=max{-1，（k-1）e■-k■}.

令h（k）=（k-1）e■-k■+1則h′（k）=k（e■-3k），

令φ（k）=e■-3k，則φ′（k）=e■-3

所以φ（k）在（■，1]上遞減，而φ（■）·φ（1）=（■-■）（e-3）<0，

所以存在x■∈（■，1]使得φ（x■）=0，且當k∈（■，x■）時，φ（k）>0，

當k∈（x■，1）時，φ（k）<0，所以φ（k）在（■，x■）上單調遞增，在（x■，1）上單調遞減.

因為h（■）=-■■+■>0，h（1）=0，

所以h（k）≥0在（■，1]上恒成立，當且僅當k=1時取得“=”.

綜上，函數f（x）在[0，k]上的最大值M=（k-1）e■-k■.

3.結語

含參數問題是綜合性很強的問題，是近年高考綜合題的熱點考點.參數問題廣泛應用于高中數學的函數解析式、數列的通項公式、含參數的方程或不等式、含參數的曲線方程和曲線的參數方程等方面.“君子生非異也，善假于物也”.若能掌握好圖形計算器這門“利器”，學生便能在教師的指導下進行自主操作、觀察、研究、分析、發現、猜想，深刻理解數學本質，真正實現數學學習與現代信息的有效整合.

參考文獻：

[1]唐德緒.TI圖形計算器支持下的高中數學探究學習研究[D].云南師范大學，2006.

[2]鄧軍民.利用TI圖形計算器探索參數范圍的求解問題[J].中國數學教育，2012（1-2）：1-2.