利用Casio圖形計算器探究關(guān)于求參數(shù)范圍的問題

霍子偉

摘 要： 含參數(shù)問題是綜合性很強的問題，是近年高考綜合題的熱點考點，解決這類問題需要學生有較好的數(shù)學素養(yǎng)和較強的數(shù)學能力.本文主要論述如何利用圖形計算器探究關(guān)于求參數(shù)范圍的問題.

關(guān)鍵詞： 參數(shù) 圖形計算器 數(shù)形結(jié)合 化歸思想

1.引言

Casio圖形計算器擁有代數(shù)運算、圖像、統(tǒng)計、編程及幾何等功能，當中的計算矩陣、統(tǒng)計、電子教案、數(shù)據(jù)表格等14個模塊全面覆蓋高中數(shù)學教材，滿足各種數(shù)學教學需要，同時它還能與電腦相連，實現(xiàn)教學內(nèi)容的同步投影.

2.函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)的取值范圍

通過圖形計算器，用新的視覺縱觀高考題目.

例1：（2013高考數(shù)學廣東理科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1） e■-kx■（k∈R）.

（1）當k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當k∈（■，1]時，求函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M.

解：（1）當k=1時，輸入函數(shù)y=（x-1）e■-x■，按Ly，分別選擇y，e，得出函數(shù)的極大值與極小值.得出f（x）的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（0.69314，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，0.69314）.其中0.69314約為ln 2.

（2）探究一：觀察函數(shù)f（x）=（x-1）e■-kx■（k∈（■，1]）的圖像，定義域設(shè)為R.函數(shù)動態(tài)圖像如下圖所示：

動態(tài)分析：雖然可以看到函數(shù)f（x）在定義域R上的圖像隨參數(shù)k值變化的趨勢，但由于定義域（-∞，+∞）是開區(qū)間，在圖像上不能確定閉區(qū)間[0，k]上的最大值.

探究二：觀察函數(shù)f（x）=（x-1）e■-kx■（k∈（■，1]）的圖像，定義域設(shè)為[0，k].函數(shù)動態(tài)圖像如下圖所示：

動態(tài)分析：隨著參數(shù)k的變化，函數(shù)f（x）圖像在變動，與此同時函數(shù)的定義域也在變動.圖像看似毛毛蟲在爬動，圖像形象具體，但是由于k的變化既影響函數(shù)的單調(diào)性，又影響著定義域的范圍，因此仍然無法得出函數(shù)的最大值M.

探究三：觀察函數(shù)f（x）=（x-1）e■-kx■（k∈（■，1]）的圖像，由于k∈（■，1]，其最大值為1，因此將定義域調(diào)節(jié)為[0，1].函數(shù)動態(tài)圖像如下圖所示：

動態(tài)分析：可觀察到在確定區(qū)間[0，1]上，函數(shù)f（x）呈現(xiàn)一定的下降與上升的趨勢，這種趨勢引領(lǐng)我們先研究函數(shù)f（x）在確定的閉區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性，并以此作為本題的切入點，再通過比較定義域端點k值與極小值ln 2k的大小進一步求解，體現(xiàn)從宏觀到微觀的解題思路.具體證明過程如下：

證明：f′（x）=e■+（x-1）e■-2kx=xe■-2kx=x（e■-2k），

令f′（x）=0，得x■=0，x■=ln（2k）∈（0，ln 2]？哿[0，1]，

下面比較ln 2k與k的大小.

令g（k）=ln（2k）-k，則g′（k）=■-1=■>0，所以g（k）在（■，1]上遞增，

所以g（k）≤ln 2-1=ln 2-lne<0，從而ln（2k）

所以當x∈（0，ln（2k））時，f′（x）<0；當x∈（ln（2k），+∞）時，f′（x）>0，

所以M=max{f（0），f（k）}=max{-1，（k-1）e■-k■}.

令h（k）=（k-1）e■-k■+1則h′（k）=k（e■-3k），

令φ（k）=e■-3k，則φ′（k）=e■-3

所以φ（k）在（■，1]上遞減，而φ（■）·φ（1）=（■-■）（e-3）<0，

所以存在x■∈（■，1]使得φ（x■）=0，且當k∈（■，x■）時，φ（k）>0，

當k∈（x■，1）時，φ（k）<0，所以φ（k）在（■，x■）上單調(diào)遞增，在（x■，1）上單調(diào)遞減.

因為h（■）=-■■+■>0，h（1）=0，

所以h（k）≥0在（■，1]上恒成立，當且僅當k=1時取得“=”.

綜上，函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M=（k-1）e■-k■.

3.結(jié)語

含參數(shù)問題是綜合性很強的問題，是近年高考綜合題的熱點考點.參數(shù)問題廣泛應(yīng)用于高中數(shù)學的函數(shù)解析式、數(shù)列的通項公式、含參數(shù)的方程或不等式、含參數(shù)的曲線方程和曲線的參數(shù)方程等方面.“君子生非異也，善假于物也”.若能掌握好圖形計算器這門“利器”，學生便能在教師的指導下進行自主操作、觀察、研究、分析、發(fā)現(xiàn)、猜想，深刻理解數(shù)學本質(zhì)，真正實現(xiàn)數(shù)學學習與現(xiàn)代信息的有效整合.

參考文獻：

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[2]鄧軍民.利用TI圖形計算器探索參數(shù)范圍的求解問題[J].中國數(shù)學教育，2012（1-2）：1-2.