數學思想解決物理問題的“謬用”

郭華初

數學思想是人們對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，是用數學解決問題的指導思想。任何物理問題的分析、解決過程，都是數學思想的運用過程。正如愛因斯坦所說：“數學之所以有高聲譽，受到特殊的尊重，一個理由是數學的命題具有可靠性，另一個理由是數學給予自然科學以某種程度的可靠性，沒有數學，科學是達不到可靠性的。”所以能熟練地運用數學思想處理物理問題，是學好物理的必要條件。

但是物理問題并不等同于數學問題，純粹的物理問題數學化，將使數學計算失去物理意義。在物理學科學習中，運用物理思維解決物理問題是不可替代的。我們應該注意物理知識和數學思想的有機結合，防止物理問題數學化。

1.“謬用”理論代替實際

應用物理知識解決實際問題時，總是或多或少應用到數學思想進行推導。數學思想和物理情境的有機結合是解決物理問題的有效途徑。但是在解題過程中常常會遇到數學思想替代物理情境，理論與實際脫離的情形。

例1.如圖1，一根長L，質量為m的均勻長方形木料，放在水平桌面上，木料與桌面之間的動摩擦因素為μ，現用水平力推木料，當木料有■伸出桌面時，桌面對它的摩擦力大小為多少？

圖1

很多學生不假思索就回答為■μmg，認為伸出桌面的■對桌面沒有壓力，壓力減小為原來的■。錯解原因在于學生全憑直覺和算術加減分析這一問題，錯誤地以為面積減少■，壓力也減少■，變為原來的■。沒有進行必要的受力分析，沒有分析出木料在豎直方向上受到重力和彈力作用，二力平衡，故彈力F■=mg，由滑動摩擦力公式知，摩擦力大小為F■=μF■=μmg。

例2.汽車以10m/s的速度在平直公路上勻速行駛剎車后經2秒速度變為6m/s求：（1）剎車后前進9m所用的時間？（2）剎車后8s內前進的距離？

解析：（1）由公式x=v■t+at■代入數據，解得t■=1s，t■=9s，這兩個結果是否都正確呢？從數學的角度看一個一元二次函數，有兩個解是很正常的事情。但是這個結果是否符合物理實際呢？將t■=9s代入公式V■=V■+at得：Vt=-8m/s，即汽車剎車后又向反方向運動到達位移9m處，顯然這是不可能的。所以剎車后前進9m所用時間應為1s。

（2）由公式x=v■t+at■代入數據可得x=16m，但參考答案x=25m.問題出在哪里呢？我們重新分析試題，根據V■=V■+at代入數據可得汽車經過t=5s速度為0，已經靜止不動了。而代入t=8s時，后面靜止的3s也當做汽車在運動，顯然這與實際情況是不符的。因為汽車失去動力以后，停下來就不會再繼續運動了。可見直接代入時間8s進行計算是錯誤的。最后應該代入停車前運動的時間t=5s可以得出x=25m。

可見，在求解中，如果把一個物理過程單純作為一個數學問題解答，那就會出現很多明顯與物理事實或生活實際不相符合的事情。需要我們在學習中全面認識事物，理論聯系實際進行分析。

2.“謬用”公式的適用條件

在物理學習過程中，我們要掌握很多概念、定律，對于這些概念、定律需要有完整認識。如果不了解它們反映出來的物理本質特征，不了解它們的內涵和外延，沒有掌握它們的適用條件，單純從數學角度理解這些概念和定律，就會出現一些生搬硬套、文不對題的錯誤。

例3.下列關于萬有引力定律的說法中正確的是（ ）

A.萬有引力定律是牛頓發現的

B.F=G■中的G是一個比例常數，它和動摩擦因數一樣是沒有單位的

C.萬有引力定律公式在任何情況下都是適用的

D.由F=G■公式可知，當r→0時，F→∞

錯解：萬有引力定律公式F=G■，當r趨近于0時，因為“分數的分母趨近于0時，這個分數值趨近于無限大”，所以F趨近于無限大，答案D應該是正確的。

分析：萬有引力定律適用的條件是“任意兩個質點“。m■和m■是指相互作用的兩質點的質量，r是兩質點間距離。當r趨近于0時，物體的大小和形狀就不能忽略，m■和m■就不能看做質點了，此時萬有引力定律公式也就不再適用了，所以答案D錯誤。

例4.兩相同帶電小球水平放置，帶有等量的同種電荷，當兩小球相距為d時，兩小球的庫侖力大小為F，若將兩小球的電量同時各減少一半，而保持兩小球間的距離d不變，則兩小球的庫侖力大小為（ ）

A.大于F/4

B.等于F/4

C.小于F/4

D.無法確定

學生選擇答案較多的是B項，在解答中學生直接應用庫侖公式F=k■進行運算，卻忽略了庫侖公式的適用范圍，即真空中的點電荷。在此題中由于小球并非點電荷，因此當兩小球的電量發生變化時，小球帶的電荷在斥力的作用下要發生轉移，小球的電荷中心發生了變化，致使電荷中心距離也發生改變，距離要較前者變小，因此正確選項應該是A。

例5.如圖3所示，在鐵芯上、下分別繞有匝數n■=800和n■=200的兩個線圈，上線圈兩端與u=51sin314tV的交流電源相連，將下線圈兩端接交流電壓表，則交流電壓表的讀數可能是（ ）

A.2.0V

B.9.0V

C.12.7V

D.144.0V

錯解：因為交流電源電壓的有效值為U■=■V，由變壓器原副線圈電壓和匝數的關系有：■=■、n■=800、n■=200，解得U■=9.0V，因為交流電壓表指示的是有效值，故B正確。

分析：除非是理想變壓器，實際變壓器都存在漏磁等現象，特別是本題的非閉合鐵芯，漏磁現象會更明顯。所以通過原線圈的磁通量大于通過副線圈的磁通量，故實際副線圈的輸出電壓肯定小于9v，答案A正確。

通過上面三道例題，我們可以看出，在物理公式中運用數學知識運算時，一定要弄清物理公式所表示的物理意義及適用條件，不能單純地從抽象出來的數學意義理解物理問題。要防止單純從數學的觀點出發將物理公式“純數學化”，也不要把物理意義淹沒在數學表述式中。

3.“謬用”圖像的物理意義

例5.一實驗小組準備探究某種元件Q的伏安特性曲線，他們設計了如圖所示的電路圖。請回答下列問題：

（1）實驗測得表格中的7組數據。請在坐標紙上作出該元件的I-U圖線。

圖4

圖5 圖6

（2）為了求元件Q在I-U圖線上某點的電阻，甲同學利用該點的坐標（U、I），由R=■求得。乙同學作出該點的切線，求出切線的斜率k，由R=■求得。其中？搖？搖 ？搖？搖（選填“甲“或“乙”）同學的方法正確。

解析：（1）如圖7所示。

圖7

（2）甲同學利用了歐姆定律R=■，乙同學利用了斜率的知識，從數學的角度上看都沒有問題。但從實際情況說，甲同學的方法才是正確的。

根據歐姆定律寫出自變量I和函數U的關系式為：U=IR，其中R表示元件Q的阻值。因為電流I增大時，元件Q的溫度升高，電阻率變大，電阻R也就增大，所以不能簡單地認為U與I成正比。從圖像可以看出，此時的函數U=f（R，I）是包含兩個自變量的，其斜率也就不能簡單地認為等于R了，即斜率k=ΔU/ΔI≠R。

那么其斜率表示什么物理意義呢？過該點的切線斜率k=ΔU/ΔI，在電子技術中表示該點對應的動態電阻。而我們中學階段所說的電阻為靜態電阻，等于該點對應的直流電壓U和電流I的比值，也等于過坐標原點和該點直線的斜率。在本題的U-I圖像中兩線的斜率明顯是不等的，即動態電阻不等于靜態電阻，也就不能把這兩種電阻值混為一談了。如果是線性元件，U-I圖像是直線，那么二者的斜率是一樣的，這兩個電阻值才會相等。

所以運用物理圖像解決實際問題時，一定要使學生在明確物理概念的基礎上，弄清圖像表示的物理意義。而不能只是機械地記住物理公式或圖像，錯誤地套用圖像的物理涵義。

恩格斯說：“任何一門科學的真正完善在于數學工具的廣泛應用。”數學是幫助我們解決物理問題的工具，數學并不是物理的全部。我們在分析物理過程時，應該從物理思維的角度理解物理情境，物理思維才是學習物理的核心理念。

參考文獻：

[1]羅吉勇.學習物理的核心思維是物理思維[J].物理教學探討，2014.12.