運用坐標法求解追及相遇問題

高國龍

追及相遇問題在運動學中占有一定的比例。由于這類問題對分析綜合能力和推理判斷能力有相當高的要求，又能較好地體現高考以“能力立意”的命題思想，所以在歷年、各地高考第一道計算題中不時出現。

一直以來，由于這類問題涉及兩個研究對象，有能不能相遇、相遇幾次、何時何地相遇等情況，使得問題看起來繁瑣復雜，不少學生理不出頭緒，無從下手，難以學好。筆者覺得運用坐標法求解追及相遇問題，教學效果很好，特寫出來，供大家參考。

一、方法介紹

在物理學中，為了定量地描述質點的位置及位置的變化，需要建立適當的坐標系。

在勻變速直線運動中，我們常用以下三個基本公式解題：

x=v0t+12at2，v=v0+at，v2-v20=2ax。

若以t=0時質點所處位置為坐標原點，質點運動方向為橫軸的正方向，則公式中的x指的就是質點在t時間內的位移。但當t=0時質點處在x0的位置時，則質點在t時刻的位置x應滿足以下兩個公式：

x=v0+v0t+12at2，v2-v20=2a（x-x0）。

這樣，把x0，x作為坐標點看待，應用上面兩個坐標公式研究和解決運動學問題的方法叫做坐標法。在研究勻變速直線運動，特別是同時研究多個質點的運動（如追及相遇問題），用坐標法顯得很簡單。

二、例題賞析

【例1】 甲、乙兩車均沿同一平直公路同向行駛。初始時刻，甲車在乙車前方x0=75m處。甲車始終以v1=10m/s的速度勻速運動。乙車做初速度為零，加速度a=2m/s2的勻加速直線運動。求：

（1）乙車追上甲車之前，兩車之間的最大距離Δxm。

（2）經過多少時間t，乙車追上甲車？

解析：選取如圖1所示的一維坐標系，初始時刻乙車的坐標為0，甲車的坐標為x0，經過時間t，甲、乙兩車的坐標各為x甲和x乙，且滿足關系式：

（2）乙車追上甲車的條件是：x甲=x乙 ④

聯立①②④解得t=15s時，乙車追上甲車。

【例2】 如圖2所示，A、B兩物體同時拋出，A在離地高h處以速度v1水平拋出，B

在距離A L處

以速度v2豎直向上拋出，h、L為已知，不計空氣阻力，求A、B在空中相遇的位置。

解析：選取如圖2所示的平面直角坐標系，初始時刻A、B的坐標為（0，h）和（L，0）。經過時間t，A、B的坐標分別為A′（xA，xB）和B′（yA，yB），有

xA=v1t ①

yA=h-12gt2 ②

xB=L ③

yB=v2t-12gt2 ④

相遇的條件是：xA=xB ⑤

yA=yB ⑥

聯立以上各式解得相遇位置的坐標x、y為：

x=L y=h-gL22v21

三、結束語

例1是追及問題，例2是相遇問題。運用坐標法求解，不僅將復雜的物理問題轉化為學生容易接受的數學問題，而且把兩物體的運動情況、位移關系直觀、形象地表示出來，清楚明了，簡單易懂，從而讓學生快速解答。同時達到物理和數學的完美融合，彰顯了數學的魅力。

（特約編輯 安 平）endprint

追及相遇問題在運動學中占有一定的比例。由于這類問題對分析綜合能力和推理判斷能力有相當高的要求，又能較好地體現高考以“能力立意”的命題思想，所以在歷年、各地高考第一道計算題中不時出現。

一直以來，由于這類問題涉及兩個研究對象，有能不能相遇、相遇幾次、何時何地相遇等情況，使得問題看起來繁瑣復雜，不少學生理不出頭緒，無從下手，難以學好。筆者覺得運用坐標法求解追及相遇問題，教學效果很好，特寫出來，供大家參考。

一、方法介紹

在物理學中，為了定量地描述質點的位置及位置的變化，需要建立適當的坐標系。

在勻變速直線運動中，我們常用以下三個基本公式解題：

x=v0t+12at2，v=v0+at，v2-v20=2ax。

若以t=0時質點所處位置為坐標原點，質點運動方向為橫軸的正方向，則公式中的x指的就是質點在t時間內的位移。但當t=0時質點處在x0的位置時，則質點在t時刻的位置x應滿足以下兩個公式：

x=v0+v0t+12at2，v2-v20=2a（x-x0）。

這樣，把x0，x作為坐標點看待，應用上面兩個坐標公式研究和解決運動學問題的方法叫做坐標法。在研究勻變速直線運動，特別是同時研究多個質點的運動（如追及相遇問題），用坐標法顯得很簡單。

二、例題賞析

【例1】 甲、乙兩車均沿同一平直公路同向行駛。初始時刻，甲車在乙車前方x0=75m處。甲車始終以v1=10m/s的速度勻速運動。乙車做初速度為零，加速度a=2m/s2的勻加速直線運動。求：

（1）乙車追上甲車之前，兩車之間的最大距離Δxm。

（2）經過多少時間t，乙車追上甲車？

解析：選取如圖1所示的一維坐標系，初始時刻乙車的坐標為0，甲車的坐標為x0，經過時間t，甲、乙兩車的坐標各為x甲和x乙，且滿足關系式：

（2）乙車追上甲車的條件是：x甲=x乙 ④

聯立①②④解得t=15s時，乙車追上甲車。

【例2】 如圖2所示，A、B兩物體同時拋出，A在離地高h處以速度v1水平拋出，B

在距離A L處

以速度v2豎直向上拋出，h、L為已知，不計空氣阻力，求A、B在空中相遇的位置。

解析：選取如圖2所示的平面直角坐標系，初始時刻A、B的坐標為（0，h）和（L，0）。經過時間t，A、B的坐標分別為A′（xA，xB）和B′（yA，yB），有

xA=v1t ①

yA=h-12gt2 ②

xB=L ③

yB=v2t-12gt2 ④

相遇的條件是：xA=xB ⑤

yA=yB ⑥

聯立以上各式解得相遇位置的坐標x、y為：

x=L y=h-gL22v21

三、結束語

例1是追及問題，例2是相遇問題。運用坐標法求解，不僅將復雜的物理問題轉化為學生容易接受的數學問題，而且把兩物體的運動情況、位移關系直觀、形象地表示出來，清楚明了，簡單易懂，從而讓學生快速解答。同時達到物理和數學的完美融合，彰顯了數學的魅力。

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追及相遇問題在運動學中占有一定的比例。由于這類問題對分析綜合能力和推理判斷能力有相當高的要求，又能較好地體現高考以“能力立意”的命題思想，所以在歷年、各地高考第一道計算題中不時出現。

一直以來，由于這類問題涉及兩個研究對象，有能不能相遇、相遇幾次、何時何地相遇等情況，使得問題看起來繁瑣復雜，不少學生理不出頭緒，無從下手，難以學好。筆者覺得運用坐標法求解追及相遇問題，教學效果很好，特寫出來，供大家參考。

一、方法介紹

在物理學中，為了定量地描述質點的位置及位置的變化，需要建立適當的坐標系。

在勻變速直線運動中，我們常用以下三個基本公式解題：

x=v0t+12at2，v=v0+at，v2-v20=2ax。

若以t=0時質點所處位置為坐標原點，質點運動方向為橫軸的正方向，則公式中的x指的就是質點在t時間內的位移。但當t=0時質點處在x0的位置時，則質點在t時刻的位置x應滿足以下兩個公式：

x=v0+v0t+12at2，v2-v20=2a（x-x0）。

這樣，把x0，x作為坐標點看待，應用上面兩個坐標公式研究和解決運動學問題的方法叫做坐標法。在研究勻變速直線運動，特別是同時研究多個質點的運動（如追及相遇問題），用坐標法顯得很簡單。

二、例題賞析

【例1】 甲、乙兩車均沿同一平直公路同向行駛。初始時刻，甲車在乙車前方x0=75m處。甲車始終以v1=10m/s的速度勻速運動。乙車做初速度為零，加速度a=2m/s2的勻加速直線運動。求：

（1）乙車追上甲車之前，兩車之間的最大距離Δxm。

（2）經過多少時間t，乙車追上甲車？

解析：選取如圖1所示的一維坐標系，初始時刻乙車的坐標為0，甲車的坐標為x0，經過時間t，甲、乙兩車的坐標各為x甲和x乙，且滿足關系式：

（2）乙車追上甲車的條件是：x甲=x乙 ④

聯立①②④解得t=15s時，乙車追上甲車。

【例2】 如圖2所示，A、B兩物體同時拋出，A在離地高h處以速度v1水平拋出，B

在距離A L處

以速度v2豎直向上拋出，h、L為已知，不計空氣阻力，求A、B在空中相遇的位置。

解析：選取如圖2所示的平面直角坐標系，初始時刻A、B的坐標為（0，h）和（L，0）。經過時間t，A、B的坐標分別為A′（xA，xB）和B′（yA，yB），有

xA=v1t ①

yA=h-12gt2 ②

xB=L ③

yB=v2t-12gt2 ④

相遇的條件是：xA=xB ⑤

yA=yB ⑥

聯立以上各式解得相遇位置的坐標x、y為：

x=L y=h-gL22v21

三、結束語

例1是追及問題，例2是相遇問題。運用坐標法求解，不僅將復雜的物理問題轉化為學生容易接受的數學問題，而且把兩物體的運動情況、位移關系直觀、形象地表示出來，清楚明了，簡單易懂，從而讓學生快速解答。同時達到物理和數學的完美融合，彰顯了數學的魅力。

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