全國卷與“球”結緣帶來的新挑戰

廣東 張紅紅

全國卷與“球”結緣帶來的新挑戰

廣東 張紅紅

隨著新一輪高考改革號角的吹響，2016年一共有25個省市回歸全國卷．縱觀近五年全國卷（理科數學），在立體幾何這一板塊的客觀題中，球的組合體的考查尤其受到命題專家的青睞．

通過全國卷的真題和各省市模擬卷的分析，我們發現，命題專家在客觀題中對球的組合體的考查時，常常需要學生根據已知描述自行畫出直觀圖（或截面圖），這樣能很好地考查學生的空間想象能力，進而考查學生的抽象思維能力、對文字與圖形的相互化歸能力、運算能力等等．當所設計的客觀題對應的幾何圖形較為復雜時，學生往往會覺得解決它比解決一道解答題難度更大．所以，球的組合體身兼數職，具有較強的考查功能性．

既然各類考題都熱衷于與“球”結緣，這一考查方式為備戰全國卷的考生帶來了新的挑戰．下面通過一些考題解析，讓同學們體會解答這類題型要注意的細節問題．

【例1】（2015·全國卷Ⅰ理）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝（ ）

A．1

B．2

C．4

D．8

【解析】該幾何體為半球和半個圓柱的組合體，直觀圖如下：

【點評】畫直觀圖時，為了作圖和看圖的方便，我們常常自己決定正視方向．所以適當調整方向是畫圖的一大技巧．

【例2】（2013·全國卷Ⅰ理）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，若不計容器厚度，則球的體積為（ ）

【解析】球與正方體上底面相交，得截面圓O1（即上底面中心），當球恰好接觸水面時即與水面相切于O2（即正方形中心），由r2＋d2＝R2得（R－2）2＋42＝R2，解得R＝5，所以球的體積為．故選A．

【點評】球與水面相切于正方形中心O2是由球與正方體的對稱性決定的．利用對稱性，我們往往事半功倍．

【例3】（2012·新課標理）已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為（ ）

【解析】球心O在截面圓中的投影必為截面圓的圓心O1，而等邊三角形△ABC內接于截面圓O1，故△ABC的中心（即重心）與O1重合．所以CO1＝．在Rt△COO1中，由r2＋ d2＝R2可算得．因為O為SC的中點，所以S到截面圓O1的距離等于算得，所以此棱錐的體積為V＝

【點評】三角形的重心分所在的中線長度比為2∶1．

【例4】（2015·石家莊模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（ ）

【解析】該幾何體為倒放的正三棱柱．直觀圖如下（左）：

球心O在截面圓中的投影必為截面圓的圓心O1，而等邊三角形△GFK內接于截面圓O1，故其中心（即重心）與O1重合．由等邊三角形邊長為2，可算得．由對稱性可知，在

在Rt△FOO1中，由r2＋d2＝R2可算得故該三棱錐的外接球的表面積為．故選B．

【點評】為方便看圖，三棱柱外接于球時將位置調整為正放．

【例5】（2016·廣州模擬）在三棱錐P－ABC中，△ABC與△PBC都是等邊三角形，側面PBC⊥底面ABC，AB＝則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）

A．16π B．20πC．25πD．32π

在Rt△AOO1中，OO1＝O2D＝1，AO1＝2，故該三棱錐的外接球的半徑為，其表面積為4πR2＝20π．故選B．

【點評】因為側面PBC⊥底面ABC，且PD垂直于兩平面的交線BC，所以PD⊥底面ABC，所以有OO1∥O2D．這些推理結果有助于圖形的描繪．

【例6】（2016·廣州模擬）同底的兩個正三棱錐內接于同一個球，已知兩個正三棱錐的底面邊長為2，球的半徑為3，設兩個正三棱錐的側面與底面所成的角分別為α，β，則tan（α＋β）的值是__________．

【解析】球心O在截面圓中的投影必為截面圓的圓心O1，而等邊三角形△ABC內接于截面圓O1，故△ABC的中心（即重心）與O1重合．在等邊△ABC中，由AB＝2可算得

【點評】正三棱錐的三大特點：底面為正三角形，頂點在底面的投影為底面中心，各側棱長相等．明白了這些性質，就能輕松得出PD⊥AC，O1D⊥AC，則∠PDO1＝α．同理∠QDO1＝β．

【變式】在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，，求該三棱錐外接球的表面積．

【答案】5π

最后，為了突破這一難點，叮囑同學們注意以下幾點．

1．熟悉幾個經典模型的直觀圖．如：長方體外接于球（長方體的對角線長等于球的直徑）；棱長為a的正四面體的外接球半徑為，棱長為a的正四面體的內切球半徑為．

2．習慣性地將幾何體的底面所在截面圓描繪出來．

3．找準球心在截面圓中的投影（即截面圓的圓心）．球心和截面圓圓心的連線垂直于截面圓所在的平面．這樣可以利用勾股定理算得相關線段長度．

4．巧用幾何體的對稱性．

5．巧借依托體．我們常常將某些特殊的三棱錐或其他幾何體置于長方體中（或補形成長方體），研究該幾何體的外接球便轉化成研究該長方體的外接球．

（作者單位：廣東省惠來縣第一中學）