“超級全能生”2016高考全國卷26省聯考（甲卷）（本試卷適用于使用全國卷Ⅱ地區）

“超級全能生”2016高考全國卷26省聯考（甲卷）（本試卷適用于使用全國卷Ⅱ地區）

（時間：120分鐘 滿分：150分）

［編者按］本次考試由新東方優能中學、《教學考試》雜志社共同發起組織，全國26個省市的數十萬考生參加，試題創新度較高，吻合高考命題趨勢，本刊特刊發以供廣大讀者考前模擬檢測，希望對大家備考有所幫助。

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分）

1．（理）已知集合B＝｛1｝，C＝｛3｝，A∪B＝｛1，2｝，則（ ）

C．A∪C＝｛1，2，3｝D．A∪C＝｛2，3｝

（文）已知集合B＝｛1｝，A∪B＝｛1，2｝，則A＝（ ）

C．｛1，2｝D．｛2｝或｛1，2｝

A．－1－2iB．－1＋2i

C．1＋2iD．1－2i

3．（理）擲一枚均勻的硬幣4次，則出現正面的次數多于反

面的次數的概率為（ ）

（文）擲一枚均勻的硬幣4次，則出現“3次正面朝上，1次反面朝上”的概率為（ ）

4．“xy≠0”是“x≠0”的（ ）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件

5．一個蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飛出去找回3個伙伴；第2天有4只蜜蜂飛出去各自找回了3個伙伴，…，如果這個找伙伴的過程繼續下去，第6天所有的蜜蜂歸巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．（ ）

A．972B．1 456

C．4 096D．5 460

6．如圖是一個空間幾何體的三視圖，其中正視圖與側視圖完全一樣，俯視圖的外框為正方形，則這個幾何體的表面積是（ ）

A．80－2πB．80

C．80＋4πD．80＋6π

A．y＝－tanx

C．y＝sin2x＋cos2x

D．y＝2cos2x－1

A．f（x）＝ax＋b

B．f（x）＝xa

C．f（x）＝logax（a＞0，a≠1）

D．f（x）＝x2＋ax＋b

12．以下關于x（x≥0）的不等式ln（x＋1）＋kx2－x≥0的結論中錯誤的是（ ）

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13．等腰直角三角形的直角頂點位于原點，另外兩個點在拋物線y2＝4x上，則這個等腰直角三角形的面積為________．

14．（理）若關于x的不等式－x2＋x＞mx的解集為｛x｜－1＜x＜0｝，則二項式（1＋mx）2016的展開式中x的系數為____________．

（文）若關于x的不等式－x2＋x＞mx的解集為｛x｜－1＜x＜0｝，且函數f（x）＝x（x－m）2在x＝n處有極小值，則n＝_____________．

15．（理）等比數列｛an｝，an＞0，a1＝256，S3＝448，Tn為數列｛an｝的前n項乘積，則當Tn取得最大值時，n＝_____________．

（文）等比數列｛an｝，an＞0，a1＝256，S3＝448，Tn為數列｛an｝的前n項乘積，則T17＝_____________．

16．（理）已知向量a＝（m，n），b＝（1，1），滿足a·b≥2，且a·（a－2 b）≤0，則a·b的取值范圍是____________．

（文）已知向量a＝（m，n）（m≥0，n≥0），b＝（2，－3），c＝（3，－2）滿足a·b≥－3，且a·c≤3，則｜a｜的最大值為____________．

三、解答題（本題共6小題，共70分）

17．（12分）△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若

2sinB－sinC＝2sin（A－C）．

“骰子”有6個面，相對面點數的和為7，如果將一摞骰子擺起來，只看到最上面的骰子朝上一面的點數就可以知道這一摞骰子“看不見”的所有面的點數之和（若有a顆骰子，最上面一粒骰子朝上的點數為b，則“看不見”的點數之和為

（1）求cos A；

18．（12分）（理）某超市某種面包進貨價為每個4元，實際售價為每個4．5元，若當天不能賣完，就在閉店前以每個3元的價格全部處理．據以往統計日需求量x（單位：個）的情況如下：

日需求量x __（0，400］（400，600］（600，800］（800，1 000］____頻率____ ___0．2 0．4 0．3 0．1____

若某日超市面包進貨量為600．

（1）若以日需求量x所在區間的中間值為估計值，根據上表列出當日利潤y的分布列；

（2）估計超市當日利潤y的均值．

（12分）（文）某畢業班統計全班40名學生報名參加學科競賽和報名參加自主招生的數據如下：（1）從該班隨機選1名同學，求該同學僅報名參加其中一項的概率；

報名參加學科競賽未報名參加學科競賽_報名參加自主招生6 28________ 2 4________未報名參加自主招生

19．（12分）已知三棱柱ABC—A1B1C1，側棱AA1垂直于底面ABC，∠ABC＝，AB＝BC＝AA1＝4，D為BC的中點．

（1）若E為棱CC1的中點，求證：DE⊥A1C；

（2）（理）若E為棱CC1上異于端點的任意一點，設CE與平面ADE所成角為α，求滿足時CE的長．

（2）（文）若E為棱CC1上異于端點的任意一點，當三棱錐C1—ADE的體積為時，求異面直線DE與AC1所成角的余弦值．

（1）求橢圓C的方程；

（1）求函數的單調性；

請考生在第22～24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．

22．（10分）選修4－1：幾何證明選講如圖所示，AB為圓O的直徑，BC，CD為圓O的切線，B，D為切點．

（1）求證：AD∥OC；

（2）若圓O的半徑為1，求AD·OC的值．

23．（10分）選修4－4：坐標系與參數方程

已知A，B（不與原點O重合）分別在圓C1：（x－2）2＋y2＝4與圓C2：（x－1）2＋y2＝1上，且OA⊥OB．

（1）若以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，當A的極角為時，求A，B的極坐標；

（2）求｜OA｜·｜OB｜的最大值．

24．（10分）選修4－4：不等式選講

如果關于x的不等式｜x－3｜＋｜x－4｜≤｜a｜的解集為空集．

（1）求實數a的取值范圍；

（2）若實數b與實數a取值范圍完全相同，求證：｜1－ab｜＞｜a－b｜．

參考答案

1．（理）B （文）D

2．A

3．（理）C （文）B

4．A 5．C 6．C 7．C 8．B

9．（理）D （文）D

10．（理）B （文）A

11．D 12．B 13．16

14．（理）4 032 （文）2

15．（理）8或9 （文）1

18．（理）解：（1）若以日需求量x所在區間的中間值為估計值，則其分布列為

當x＝200時，y＝200×（4，5－4）－（600－200）×1＝－300；（3分）

當x＝500時，y＝500×（4，5－4）－（600－500）×1＝150；（4分）

當x＝700時，y＝600×（4，5－4）＝300；（5分）

當x＝900時，y＝600×（4，5－4）＝300．（6分）

所以當日利潤y的分布列

（2）Ey＝－300×0．2＋150×0．4＋300×0．4＝120（元）．（12分）

（文）解：（1）設從該班隨機選1名同學，該同學僅報名參加其中一項的事件為A，則．（4分）

（2）設報名參加自主招生的同學中任取2人，恰好1人兩項都報名的事件為B，設參加兩項的2名同學分別為a，b，僅參加自主招生的4名同學分別為c，d，e，f，（6分）

從報名參加自主招生的同學中任取2人有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15種．（8分）

其中恰好1人兩項都報名的情況的有ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，共8種（10分）

解得T（0，1）．（10分）

當直線l0的斜率不存在時，易知A（0，1），B（0，－1），則圓的方程為x2＋y2＝1，

易知過T（0，1）（11分）

綜上所述，存在定點T，其坐標為T（0，1）．（12分）

21．解：（1）y＝f（x）的定義域為｛x｜x＞0｝，（1分）

令f′（x）＞0，x＞1，令f′（x）＜0，0＜x＜1，（3分）

所以原函數的單調遞增區間為（1，＋∞），單調遞減區間為（0，1）．（4分）

（2）由（1）知y＝f（x）的最小值為f（1）＝0，（5分）

22．解：（1）連接BD，OD，∵CB，CD是圓O的兩條切線，∴BD⊥OC．

∴∠ODB＋∠DOC＝90°．（1分）

又AB為圓O的直徑，∴AD⊥DB，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，（2分）

∴∠DOC＝∠ADO，（4分）

∴AD∥OC．（5分）

（2）∵AO＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝∠DOC，（6分）

∴Rt△BAD∽Rt△COD，（8分）

AD·OC＝AB·OD＝2．（10分）

23．（1）圓C1：（x－2）2＋y2＝4的極坐標方程為ρ＝4cosθ，（1分）

圓C2：（x－1）2＋y2＝1的極坐標方程為ρ＝2cosθ，（2分）

所以y＝f（x）的最小值為1，（3分）

所以｜a｜＜1．（5分）

（2）由（1）｜a｜＜1，所以｜b｜＜1，（6分）

因為（1－ab）2－（a－b）2＝（1－a2）（1－b2），（8分）

而｜a｜＜1，｜b｜＜1，

所以a2＜1，b2＜1，（9分）

所以原不等式得證．（10分）