探究特殊與一般思想在高考中的應用

甘肅 王新宏

探究特殊與一般思想在高考中的應用

甘肅 王新宏

縱觀近幾年的各地高考試卷的最后一道（或幾道）選擇題或最后一道填空題，不難發現這些把關題體現特殊與一般數學思想，這些試題集中考查了考生獨立思考、自主探究的能力，很好地區分了考生的數學素養與思維品質，以及今后學習數學的潛質，既充分體現了考生的知識技能和思維方法，也給靈活多變的思維，收放自如的想象留下了更大的發揮空間．

數學思想方法的考查是對考生的數學知識更高層次上的考查，特殊與一般思想是課標課程高考課程的數學思想之一，高考數學中對它的考查方式主要有：通過尋求特殊值、特殊點、特殊數列、特殊的位置關系等來研究解決不確定問題、運動變化問題、抽象問題等．

解題時若能注意到問題的特殊性，進而分析考慮有無可能把待解決問題轉化為特殊問題或極端情形，不僅是可行的，而且會事半功倍．

一、特殊化思想PK一般化思想

在一些高考的把關小題上，既能用一般化的數學思想方法解決，又能用特殊化的數學思想方法解決，但一般性解決時，要么思維上有難度，要么運算上煩瑣，考生較難找到解決問題的切入點，浪費了寶貴的時間，效率低下，反之若用特殊化數學思想解題，則有效地降低了思維的難度和運算量，效率又高，下面請讀者自己辨別、思考、領悟．

1．在函數中PK

在求參數范圍、函數圖象等函數問題中，命題者精心策劃，刻意安排考查特殊與一般的數學思想，看你能否想到通過構造特殊函數，尋找特殊點、特殊值來解決這類問題．

【例1】（2015·全國Ⅰ卷理·12）設函數f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整數x0，使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（ ）

【解析1】（一般化思想）

設g（x）＝ex（2x－1），h（x）＝ax－a，由題知存在唯一的整數x0，使得g（x0）在直線y＝ax－a的下方；因為，所以當時，g′（x）＜0；當x＞時，g′（x）＞0．

【解析2】（特殊點）

仔細觀察可發現f（0）＝a－1＜0，所以由題意知x0＝0，，結合已知得，故選D．

【點評】只要分析出x0＝0，問題也就隨之破解．數學不是缺少美，而是缺少發現美的智慧．

【解析3】（特殊值）

【點評】特例排除法是解決一般化思想不好做而常用的行之有效的一種解題方法．

【例2】（2015·全國Ⅱ卷理·10）如圖2，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x．將動點P到A、B兩點距離之和表示為x的函數f（x），則y＝f（x）的圖象大致為（ ）

圖2

【解析】（特殊值法）

【點評】小題要巧做，贏得時間就是贏得高分的保證．

2．在三角函數問題中PK

一些四邊形中的三角函數問題或是涉及三角函數的圖象問題，難以找到解決問題的切入口，可通過構造滿足題意的特殊的三角形，讓問題的實質原型暴露出來，或是繪出滿足題意的一個特殊的三角函數圖象，借助圖象的直觀性，快速準確地解決此類問題．

【例3】（2015·全國Ⅰ卷理·16）在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75o，BC＝2，則AB的取值范圍是_____________．

【解析】（特殊圖形）

如圖3所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當A與D重合與E點時，AB最長，在△BCE中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝ 30°，BC＝2，由正弦定理可得平移AD，當D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在△BCF中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝30°，由正弦定理知，即，所以AB的取值范圍是

【點評】填空題末題往往切入難且運算繁，區分度強．善于通過聯想，把所求知識與自己所掌握知識恰當融匯，是一種數學能力的體現．

【點評】此題大部分學生缺乏找“特殊圖形”的意識，難以優質高效地解決此題；通過長時間的教育教學，我們發現數學成績優異的學生與普通學生相比，差別主要有兩點，第一：會不會合理地將問題等價轉化為熟悉的問題來解決；第二：會不會運用數形結合的思想方法解題．

3．在數列問題中PK

一些高考數列問題，初看比較抽象復雜，很難下手，如果使問題退化到最為簡單的“原始”特殊數列就可化抽象為具體，變復雜為簡單，問題也就迎刃而解了，總之，以退為進，退到一個能夠下手處理的位置，從而達到解決一般問題的目的，可謂“退一步海闊天空”．

A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C．p是q的充分必要條件

D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

【解析】（特殊數列）

取大家最熟悉的等比數列an＝2n，代入q命題（不妨讓n＝3）滿足，再取an＝3n代入q命題（不妨讓n＝3）也滿足，反之取a1＝a2＝a3＝…＝an＝0，滿足q命題，但不滿足p命題，故p是q的充分條件，但不是q的必要條件．

【點評】這類題，一般性方法很難解決，但特殊數列法思路簡單，運算直接明了．能得分的方法都是好方法，取特例時，越簡單越熟悉越好．簡單也是數學的一種美．

4．在立體幾何問題中PK

立體幾何中有關運動變化的點（或圖形）的問題，常考慮極限位置，特殊化處理，往往收到意想不到的效果，真叫人拍案叫絕，連聲叫好．

【例6】（2015·浙江理·8）如圖5，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′—CD—B的平面角為α，則（ ）

A．∠A′DB≤α B．∠A′DB≥α

C．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α

【解析1】（一般化思想）

如圖6所示，設∠ADC＝θ，AB＝2，則由題意知AD＝BD＝A′D＝1，在空間圖形中，連接A′B，設A′B＝t，在△A′DB中，過A′作A′N⊥ DC，過B作BM⊥DC，垂足分別為N、M，過N作NP瓛MB，使四邊形BPNM為矩形，則NP⊥DC，連接A′P，BP，則∠A′NP就是二面角A′—CD—B的平面角，所以∠A′NP＝ α，在Rt△A′ND中，DN＝A′Dcos∠A′DC＝cosθ，A′N＝A′Dsin∠A′DC＝sinθ，同理，BM＝PN＝sinθ，DM＝cosθ，故BP＝MN＝2cosθ，顯然BP⊥平面A′NP，故BP⊥A′P．

因為α，∠A′DB∈［0，π］，而y＝cosx在［0，π］上為減函數，所以α≤∠A′DB，故選B．

【點評】太煩瑣了，這絕不是命題者的初衷，更不是數學的追求，根本無法體現數學的美與精神．

【解析2】（極限位置）

若CA≠CB，則當α＝π時，∠A′CB＜π，排除D；當α＝0時，∠A′CB＞0，∠A′DB＞0，可排除A、C，故選B．

【點評】大浪淘沙始見金，想得越深刻，思考得越開放，方法就越簡單，越能體現數學的美與精神．

5．在圓或圓錐曲線問題中PK

一些有關直線與圓或圓錐曲線的問題中，總讓人有蒙著一層神秘的面紗，或是霧里看花的感覺，題目中點多，未知的量較多，運動的點也較多，如何透過層層迷霧，摘掉它的神秘面紗，這就需要用特殊化思想找到特殊的點（或線、曲線），從而迅速破解問題．

【例7】（2014·湖北文·17）已知圓O：x2＋y2＝1和點A（－2，0），若定點B（b，0）（b≠－2）和常數λ滿足：對圓O上任意一點M，都有｜MB｜＝λ｜MA｜，則（Ⅰ）b＝________；（Ⅱ）λ＝________．

【解析1】（三角換元）

在圓O上任意取一點M（cosθ，sinθ），則由｜MB｜＝λ｜MA｜可得（cosθ－b）2＋sin2θ＝λ2［（cosθ＋2）2＋sin2θ］，整理得1＋b2－

【解析2】（特殊點）

既然對圓O上任意一點M，都有｜MB｜＝λ｜MA｜，使得λ與b為常數，那么我們何不把點M取為特殊點呢？取M（1，0）與M（0，1）代入｜MB｜＝λ｜MA｜得：

【點評】大部分考生想不到特例法，主要原因是他對特殊與一般的數學思想理解得不夠深刻，不夠到位，再加上平時訓練的又較少甚至沒有，故想不到簡便的解題策略．

6．在抽象函數中PK

在抽象函數中，只有根據具體情況巧妙賦值，方可化“腐朽”為“神奇”．

【例8】（2015·福建理·10）若定義在R上的函數f（x）滿足f（0）＝－1，其導函數f′（x）滿足f′（x）＞k＞1，則下列結論中一定錯誤的是（ ）

【解析1】（一般化思想）

二、有直接法可用嗎？

在用坐標法求解的向量問題，大多數抽象函數問題，不確定函數問題，某些數列性質的探究問題，不是不想用一般化思想方法解題，而是有一般化思想方法可用嗎？請看以下幾例．

A．13B．15C．19D．21

【點評】坐標化是處理平面向量問題最簡單，最有效的方法．

【分析】抽象函數問題，信息量比較大，所以會使有些學生在解答中出現慌亂，只有巧妙賦值，方可化“腐朽”為“神奇”．

【點評】巧妙賦值，合理轉化變形是突破這類問題的關鍵．

【例11】（2015·浙江理·7）存在函數f（x）滿足，對任意x∈R都有（ ）

A．f（sin2x）＝sinx B．f（sin2x）＝x2＋x

C．f（x2＋1）＝｜x＋1｜D．f（x2＋2x）＝｜x＋1｜

【分析】本題主要考查函數的概念，即對于任意變量x有唯一的y與之相對應；考生可通過舉反例排除．

【點評】特值排除法是解決此類問題的一個良方．

【例12】（2015·北京理·6）設｛an｝是等差數列．下列結論中正確的是（ ）

A．若a1＋a2＞0，則a2＋a3＞0

B．若a1＋a3＜0，則a1＋a2＜0

C．若0＜a1＜a2，則a2＞

D．若a1＜0，則（a2－a1）（a2－a3）＜0

【解析】對于A與B，令a1＝2，a2＝－1，則a3＝－4，a2＋a3＝－5＜0，a1＋a3＝2a2＝－2＜0，但a1＋a2＝1＞0；對于C，由0＜a1＜a2，可知等差數列｛an｝為遞增數列，所以a3＞0，且；對于D，設d為公差，則（a2－a1）（a2－a3）＝－d2＜0；故選C．

【點評】靈活應用等差數列的性質和基本不等式的知識是解決此題的關鍵．

三、特例探路，結合演繹推理得出一般結論

由特殊探路，讓合情推理與演繹推理協同作戰來解決一般性問題，解題的過程就會層次分明，顯得非常優美，提高了數學思維的流暢性，這也是數學中特殊與一般思想的重要體現．

【例13】（2014·新課標Ⅱ理·16）設點M（x0，1），若在圓O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是________．

【解析】如圖8，點M（x0，1）在直線y＝1上，且y＝1與圓O：x2＋y2＝1相切于點M（0，1），此時圓O：x2＋y2＝1上存在點N（1，0）或N（－1，0），使得∠OMN＝45°；當點M為（－1，1）或（1，1）時，作圓O的切線，得切點為N（1，0）或N（－1，0），使得∠OMN＝45°，滿足題意；故當M（x0，1）中的－1＜x0＜1時，過點M（x0，1）作圓O的切線，切點為點N′，則∠OMN′＞45°，所以在圓O上存在點N，使得∠OMN＝45°；若x0＜－1或x0＞1時，過點M（x0，1）作圓O的切線，切點為點N′，則∠OMN′＜45°，所以在圓O上不存在點N，使得∠OMN＝45°．

綜上得－1≤x0≤1，范圍為［－1，1］．

【點評】本題數形結合將一般問題特殊化，將不熟悉的問題等價轉化為熟悉的問題，合理分析，推敲得出答案，設計質樸，但思維發散，不容易找到切入點與臨界點，很好的測試了考生的數學素養與學習潛能．

四、鞏固練習

高考中像這樣運用特殊化思想解決一般性問題的機遇多嗎？要知道高考命題者出于試卷的“信度”和“效度”的需求，不會用十分古怪的問題來刁難考生，所以這樣的機遇還是不少的，關鍵是你能否敏銳地發現它，捕捉它，然后利用特殊化思想解決它．

3．（2015·浙江文·6）有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個房間的粉刷面積（單位：m2）分別為x，y，z，且x＜y＜z，三種顏色涂料的粉刷費用（單位：元／m2）分別為a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的總費用（單位：元）是（ ）

A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx

C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz

4．（2015·湖北理·8）將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b（a≠b）同時增加m（m＞0）個單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則（ ）

A．對任意的a，b，e1＞e2

B．當a＞b時，e1＞e2；當a＜b時，e1＜e2

C．對任意的a，b，e1＜e2

D．當a＞b時，e1＜e2；當a＜b時，e1＞e2

【答案】1．C 2．A 3．B 4．D

（作者單位：甘肅省張掖市實驗中學）