空間向量能干的那些事

2016-03-18 05:54:48河北李錦昱

教學考試(高考數學) 2016年3期

河北李錦昱

空間向量能干的那些事

河北李錦昱

自從引入空間向量這一重要工具之后，老師們再也不用擔心我們的立體幾何了，因為很多立體幾何問題變的都那么程式化，操作也簡單明了，不信請看以下幾例．

一、空間向量定軌跡

1．確定軌跡是直線

【例1】如圖所示，正三角形PAD所在平面與正方形ABCD所在平面垂直，O是正方形ABCD的中心，正方形內的一個動點M滿足MP＝MB，則點M的軌跡是（）

【解法一】連接PB，由MP＝MB可得點M在線段PB的垂直平分面上，即點M的軌跡是線段PB的垂直平分面與底面正方形ABCD的交線，因此是線段，但這條線段顯然又不是對角線AC，故應選B．

其實，空間向量可以把“顯然”準確化：

【解法二】設AD、BC的中點分別為E、F，以EA、EF、EP為x、y、z軸建立空間直角坐標系，不妨設正方形邊長為2，則那么，整理得x＋2y－1＝0，其軌跡是直線的一部分．

2．確定軌跡是平面曲線

空間中給定圓錐和平面（截面），若截面與軸垂直，則截面曲線是圓（含點圓）；若截面與一條母線平行，則截面曲線是拋物線；若截面與軸平行或與對頂圓錐頂點兩側都相交，則截面曲線是雙曲線；若截面只與圓錐頂點一側相交（不與軸垂直），則截面曲線是橢圓．

2015年浙江卷文科第7題（例2）就很好地考查了圓錐曲線的本質定義．

【例2】如圖，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB＝30°，則P的軌跡是（）

A．直線 B．拋物線

C．橢圓 D．雙曲線的一支

【解析】顯然AP是以AB為軸的圓錐面的母線，因為∠PAB＝30°且平面α與圓錐的軸線所成的角為60°，則截面是橢圓，故選C．其詳細的解答可參考下面的題源．

【題源追蹤】（2014年5月浙江湖州二模理6）如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M是底面正方形ABCD內的一個動點，若直線C1D，C1M所成的角等于30°，則以下說法正確的是（）

A．點M的軌跡是圓的一部分

B．點M的軌跡是橢圓的一部分

C．點M的軌跡是雙曲線的一部分

D．點M的軌跡是拋物線的一部分

【解析】（方法1）以DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，不妨設正方體棱長為1，則D（0，0，0），C1（0，1，1），設直線C1D，C1M所成的角等于30°，則，整理可得，其軌跡是橢圓的一部分．

（方法2）C1D與底面ABCD所成的角等于45°，直線C1D，C1M所成的角等于30°，則問題等價于以C1D為軸，母線C1M繞軸C1D旋轉形成圓錐面，再用與軸C1D成45°角的平面ABCD截圓錐面，得到圓錐曲線部分．因為截面只與圓錐頂點一側相交，所以點M的軌跡是橢圓的一部分．

3．確定軌跡是空間曲面

【例3】如圖，在棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、E1分別是AD、A1D1的中點，長為2的線段MN的端點M，N分別在線段EE1和正方形ABCD內滑動，那么MN的中點P所形成的軌跡與正方體的面所圍成的封閉幾何體的體積為（）

【解析】設BC的中點為F，則以EF，ED，EE1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設P（x，y，z）（其中x≥0，z≥0），由中點關系可得M（0，0，2z），N（2x，2y，0），注意到MN＝2，可得x2＋y2＋z2＝1（x≥0，z≥0），所得軌跡是四分之一球面，故其體積為

二、空間向量確定點

1．利用空間向量確定動點的個數（求空間角）

【例4】如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，設點P為棱上任意點（異于頂點B），那么使BP與AC1所成角為45°的點P的個數為（）

A．1B．2C．3D．4

【解析】因為BB1，BC，BA與AC1所成角均大于45°，所以BB1，BC，BA三條棱上不存在符合題意的點P；

因為AC1與BA1，BD垂直，所以A1B1，AA1，CD三條棱上不存在符合題意的點P．

以下在棱A1D1，C1D1，B1B1，CC1，DD1，AD上驗證是否存在符合題意的點P．

以AB，AD，AA1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C1（1，1，

設點P（0，y，1）（0≤y≤1）在棱A1D1上，則y，1），如果BP與AC1能成45°的角，那么，只有滿足y2＝－6才成立，這就是說棱A1D1上不存在符合題意的點P；同理，設點P（0，y，0）（0≤ y≤1）在棱AD上，則，如果BP與AC1能成45°的角，那么解得（舍去），即棱AD上也不存在符合題意的點P；

設點P（1，y，1）（0≤y≤1）在棱B1C1上，則1），如果BP與AC1能成45°的角，那么即棱B1C1上存在一個符合題意的點P；設點P（x，1，1）（0≤x≤ 1）在棱C1D1上，則，如果BP與AC1能成45°的角，那么，解得，即棱C1D1上存在一個符合題意的點P；

設點P（1，1，z）（0≤z≤1）在棱CC1上，則如果BP與AC1能成45°的角，那么，即棱CC1上存在一個符合題意的點P；設點P（0，1，z）（0≤x≤1）在棱DD1上，則如果BP與AC1能成45°的角，那么，此時需要z2＝－6（舍去），即棱DD1上不存在符合題意的點P．

綜上所述，點P只可能在棱B1C1、C1D1和CC1各存在一個，故選C．

2．利用空間向量求距離或截面面積

【例5】在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P為棱AB的中點，那么經過點A與D1P垂直的平面截正方體所得的截面面積為（）

【解析】以AB，AD，AA1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），P（1，0，0），D1（0，2，2）．在棱BC， BB1上取點E（2，y，0），F（2，0，z），則得只有y＝z＝1才成立，也就是說點E，F恰好是棱BC，BB1的中點，此時可得截面是

【例6】已知長度為4的線段AB在平面α內，線段AC，BD不在平面α內，若AC⊥平面α，垂足是A，BD⊥AB，若AC＝BD＝3，BD與它在平面α內的射影成30°角，則CD的長度為（）

【解析】如圖，D和D1分別是符合題意的分布在平面α兩側的點，它們在平面α內的射影設為點E，E1，D與C在平面α的同一側，D1與C在平面α的不同側，由同理，由

3．利用空間向量確定動點的位置（證明空間垂直）

【例7】如圖，在三棱錐A－BCD中，平面ABD和底面BCD垂直，點F是棱CD上的動點，E，O分別是AD，BD的中點．已知

（Ⅰ）證明：不論點F在棱CD上如何移動，總有OE⊥AF；

（Ⅱ）求二面角F－AB－D的平面角的余弦值的最小值．

【解】（Ⅰ）證明：因為E，O分別是AD，BD的中點，則EO∥AB，因為∠BAD＝90°，所以OE⊥AD；因為平面ABD和底面BCD垂直，且∠BDC＝90°（即CD⊥BD），所以CD⊥平面ABD，而OE平面ABD，所以CD⊥OE；又AD∩CD＝D，從而OE平面ACD，AF平面ACD，因此總有OEAF．

（Ⅱ）取BC的中點G，連接OG，OA，則OG，OD，OA兩兩垂直，以OG，OD，OA所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．