圓錐曲線中的易錯(cuò)點(diǎn)分析

甘肅 張自鶴

圓錐曲線中的易錯(cuò)點(diǎn)分析

甘肅 張自鶴

圓錐曲線是解析幾何的主要內(nèi)容，在高考試題中分值約占15%，在選擇題、填空題中一般考查基礎(chǔ)知識(shí)，解答題中必有一題，常作為把關(guān)題或壓軸題，其考查重點(diǎn)是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、求曲線方程、最值問(wèn)題等，著重考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、函數(shù)與方程、運(yùn)算等方面的能力，對(duì)學(xué)生的思維能力、方法要求高，難度較大，但只要打好基礎(chǔ)知識(shí)，有意識(shí)地防范一些易錯(cuò)點(diǎn)，盡可能地多得分還是可能的。圓錐曲線中的易錯(cuò)點(diǎn)較多，本文主要從知識(shí)點(diǎn)方面來(lái)探尋其致誤的原因及防范措施，以期對(duì)廣大同學(xué)有所幫助和警示．知識(shí)點(diǎn)方面常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)主要有以下幾點(diǎn)：

一、忽視圓錐曲線定義中的條件致誤

【例1】若動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N（－2，0），且與另一圓M：（x－2）2＋y2＝8外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程．

【錯(cuò)因分析】忽視雙曲線定義中的條件“差的絕對(duì)值”，很容易錯(cuò)認(rèn)為所求的軌跡就是整個(gè)雙曲線．

【正確解析】因?yàn)閯?dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N（－2，0），所以｜PN｜是動(dòng)圓的半徑．又因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M相外切，所以｜PM｜＝．故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距｜MN｜為4的雙曲線的左支，則，故動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為：

【防范措施】（1）熟記圓錐曲線的定義，要特別注意雙曲線定義中的條件“差的絕對(duì)值”，搞清楚是整條雙曲線還是僅為其中的一支；（2）認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合，多動(dòng)手畫(huà)示意圖幫助判斷．

【變式訓(xùn)練】已知B（5，0），C（－5，0）是△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，求頂點(diǎn)A的軌跡方程．

二、忽視離心率范圍致誤

【例2】已知點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2為銳角三角形，則該雙曲線離心率e的取值范圍是（ ）

【錯(cuò)因分析】只考慮由不等關(guān)系解得的范圍，而忽視雙曲線離心率本身的取值范圍．

【防范措施】在求圓錐曲線離心率的范圍時(shí)，要注意不同曲線的離心率范圍是不一樣的，橢圓的離心率0＜e＜1，雙曲線的離心率e＞1，拋物線的離心率e＝1，在由不等關(guān)系求出離心率的取值范圍后，還要考慮和所在曲線本身離心率的取值范圍取交集．

【參考答案】1＜e＜2．

三、焦點(diǎn)位置考慮不周致誤

【例3】已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的一條漸近線方程為4x－3y＝0，并且焦點(diǎn)都在圓x2＋y2＝100上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【錯(cuò)因分析】忽視雙曲線焦點(diǎn)的位置，想當(dāng)然地認(rèn)為焦點(diǎn)只在x軸上或只在y軸上，因考慮不全而犯“對(duì)而不全”的錯(cuò)誤．

【防范措施】在求雙曲線方程時(shí)，一定要注意全面考慮，不要漏解．若焦點(diǎn)位置不確定，則常用兩種方法來(lái)解決：一是分類討論，分別考慮焦點(diǎn)在x軸和y軸上的情形；二是設(shè)雙曲線方程為的形式．若雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0時(shí)，則也可將雙曲線方程設(shè)為的形式來(lái)求解，當(dāng)λ＞0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)λ＜0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上．

【變式訓(xùn)練】若一拋物線的焦點(diǎn)在x－2y－4＝0，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【參考答案】x2＝－8y或y2＝16x．

四、利用點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)忽視判別式致誤

【例4】已知雙曲線2x2－y2＝2，過(guò)點(diǎn)P（1，1）能否作直線l，使直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為P（1，1）？若存在，求出它的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【錯(cuò)因分析】利用點(diǎn)差法求出中點(diǎn)弦所在直線的斜率，并寫(xiě)出方程后，沒(méi)有利用判別式來(lái)判斷直線與雙曲線是否有交點(diǎn)致誤．

【正確解析】假設(shè)存在l，使得點(diǎn)P（1，1）為線段AB的中點(diǎn)．不妨設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1＋x2＝2，y1＋y2＝2．

2x2－4x＋3＝0，∵Δ＝16－4×3×2＝－8＜0，∴此直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，與假設(shè)矛盾．

故這樣的直線不存在．

【防范措施】點(diǎn)差法是解決圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題的快捷方法，但點(diǎn)差法使用的前提是以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的斜率必須存在，因此利用此法求出弦所在直線方程時(shí)，必須要驗(yàn)證直線是否與曲線相交，即要驗(yàn)證判別式Δ的符號(hào)．

【參考答案】存在這樣的直線l，其方程為2x＋4y－3＝0．

五、忽視特殊性、判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系致誤

【例5】已知點(diǎn)A（0，2）和雙曲線4x2－y2＝4，則過(guò)點(diǎn)A（0，2）可作幾條直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？

【錯(cuò)因分析】本題在設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消元后，對(duì)方程的處理容易出錯(cuò)，容易忽視此方程的二次項(xiàng)系數(shù)為0的特殊情形，同時(shí)也容易忽視過(guò)點(diǎn)A（0，2）可向雙曲線的兩支作切線．

【正確解析】由題意可知直線的斜率必存在，故可設(shè)直線方程為y＝kx＋2，代入4x2－y2＝4，整理得（4－k2）x2－4kx－8＝0．

（1）當(dāng)4－k2＝0，即k＝±2時(shí)，直線平行于漸近線，與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．

（2）當(dāng)4－k2≠0，即k≠±2時(shí)，令Δ＝（－4k）2－4（4－ k2）（－8）＝0，解得，此時(shí)直線方程為，與雙曲線相切．故過(guò)點(diǎn)A（0，2）可作4條直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

【防范措施】解決過(guò)定點(diǎn)的直線與雙曲線位置關(guān)系問(wèn)題的基本思路有兩個(gè)，一是將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消元后，對(duì)所得方程進(jìn)行討論，要特別注意二次項(xiàng)系數(shù)為零的特殊情形，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，借助判別式來(lái)討論位置關(guān)系；二是利用數(shù)形結(jié)合思想，借助示意圖來(lái)判斷位置關(guān)系．在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，雙曲線和拋物線都有特殊情形，要特別注意．

【變式訓(xùn)練】過(guò)點(diǎn)A（4，0）的直線與拋物線：y2＝－4x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的斜率k．

六、忽視直線斜率是否存在致誤

【例6】在圓x2＋y2＝4上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段，D為垂足，點(diǎn)M在線段PD上，且點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)．

（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）過(guò)定點(diǎn)C（－1，0）的直線與點(diǎn)M的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使為常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【錯(cuò)因分析】在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分：一是在構(gòu)建方程及解方程的過(guò)程中，進(jìn)行字符運(yùn)算時(shí)容易失分；二是第（2）題中的求解過(guò)程中，忽視對(duì)斜率k的討論而失分，常常出現(xiàn)會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全的情形．

【防范措施】（1）在加強(qiáng)思維能力培養(yǎng)的同時(shí)，還要重視運(yùn)算能力的訓(xùn)練，平時(shí)要養(yǎng)成認(rèn)真細(xì)心的運(yùn)算習(xí)慣．（2）凡涉及直線與曲線的位置問(wèn)題，只要直線的斜率不確定就要進(jìn)行分類討論，考慮斜率是否存在．當(dāng)然，若直線在x軸上的截距為常數(shù)n時(shí)，也可以將直線方程設(shè)為x＝my＋n（m為參數(shù)），則可避免討論斜率是否存在．

七、忽視判別式致誤

【例7】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為，若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，，且（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

【錯(cuò)因分析】容易忽視直線與橢圓相交需滿足消元以后的一元二次方程的Δ＞0．

【防范措施】解決直線與橢圓相交問(wèn)題時(shí)，以下幾點(diǎn)容易造成失分：（1）聯(lián)立方程組前沒(méi)能將方程中字母量減到最少，致使聯(lián)立方程過(guò)多而失分；（2）忽視直線與橢圓相交需滿足消元以后的一元二次方程的判別式Δ＞0這一條件而失分．

【變式訓(xùn)練】直線l：y＝kx＋1，與雙曲線2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點(diǎn)A，B，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解決有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題時(shí)，常常要根據(jù)曲線的幾何性質(zhì)，把曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（如方程、不等關(guān)系、函數(shù)等），還要重視數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。圓錐曲線內(nèi)容對(duì)思維要求高，運(yùn)算量大，所以失分也就多，除因知識(shí)點(diǎn)原因失分外，還要注意運(yùn)算不過(guò)關(guān)也是失分的一大因素，所以在特別關(guān)注以上一些容易失分節(jié)點(diǎn)的同時(shí)，也還要高度重視數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的訓(xùn)練，平時(shí)要養(yǎng)成認(rèn)真審題、細(xì)心書(shū)寫(xiě)的良好運(yùn)算習(xí)慣，這也是減少失分的一個(gè)因素。高考數(shù)學(xué)不易，圓錐曲線部分得滿分不易，愿同學(xué)們且學(xué)且珍重。

（作者單位：甘肅省臨澤縣第一中學(xué)）