含參導數問題的五種求解策略

甘肅 張建虎

含參導數問題的五種求解策略

甘肅 張建虎

以函數為載體，以導數為工具，考查函數性質及導數應用為目標，是最近幾年函數與導數交匯試題的顯著特點和命題趨向．運用導數確定含參數函數的參數取值范圍是一類常見的探索性問題，主要是求存在性問題或恒成立問題中的參數的范圍．解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想，通過分離參數、數形結合、分類討論等思維方法進行求解．而求解策略的恰當選擇，取決于求解策略是否準確，本文就此類含參數的導數問題做如下闡述．

1．分離參數，化為最值問題

（1）當a＝1時，求函數f（x）的單調區間和極值；

（2）當x∈［1，2］時，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值范圍．

【評注】本題中，參數a可以用含x的函數來表示，因此想到分離參數，進而轉化為最值問題．上述解法可以實施的前提是變量a可以比較方便地“分離”出來，用含x的函數來表示，且可以確定新函數g（x）＝f′（x）在區間（－1，1）是單調遞增的．若變量a無法分離，或新函數h（x）的單調性無法確定（h（x）存在極值點，但又無法求出此極值點），那“分離參數”這個方法在此就不合適了．為此，本題還提供一種對此類問題的一般性解法．

【變式練習】設函數f（x）＝kx3－3x＋1，x∈R，若對于任意x∈［－1，1］都有f（x）≥0成立，求k的取值范圍．

【提示】分x＞0，x＝0，x＜0依次討論并對k的取值范圍求交集，即得k＝4．

2．分類討論，逐一分析

題目見【例1】

【評注】雖然解法一可以避免分類討論，簡潔程度明顯優于解法二．但解法二給出了求函數最值的基本方法，適用范圍較廣，也要引起足夠的重視．

【變式練習】函數f（x）的導數f′（x）＝a（x＋1）（x－a），若f（x）在x＝a處取得極大值，求實數a的取值范圍．

【提示】對a進行逐一分類討論．答案是a∈（－1，0）．

3．化為以參數為新變元的問題

【例2】 已知函數f（x）＝x2＋alnx－2，若f（x）＋1≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

【分析】本題雖然可以分離參數，但需對lnx是否大于0討論，這樣一個問題變成了兩個問題，比較浪費時間．

∴a＝－2是φ（a）的極大值點，也是φ（a）的最大值點．

∴φ（a）≤φ（－2）＝0，又φ（a）≥0，∴a＝－2，即a∈｛－2｝．

【評注】“分離參數”的解法雖然比較簡潔，但有一定的局限性．當分離參數的方法受阻時，只能轉為直接求最值，同時，分離參數后，對新函數的導函數討論會陷入既無法定號、又無法求出極值點的尷尬境地，因此不適合用分離參數解決．只能直接對f（x）求導，討論其單調性，求出f（x）最小值（是一個關于a的函數），進而轉化為對關于參數a的函數的分析．

4．逆推求函數最值，進而得出參數范圍

【例3】（2012·新課標卷）設函數f（x）＝ex－ax－2．

（1）求f（x）的單調區間；

（2）若a＝1，k為整數，且當x＞0時，（x－k）f′（x）＋x＋1＞0，求k的最大值．

【解析】（1）f（x）的定義域為（－∞，＋∞），f′（x）＝ex－a．

若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在（－∞，＋∞）單調遞增．

若a＞0，則當x∈（－∞，lna）時，f′（x）＜0；當x∈（lna，＋∞）時，f′（x）＞0，所以f（x）在（－∞，lna）上單調遞減，在（lna，＋∞）上單調遞增．

（2）由于a＝1，所以（x－k）f′（x）＋x＋1＝（x－k）（ex－1）＋x＋1．

由（1）知，函數h（x）＝ex－x－2在（0，＋∞）單調遞增．而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）在（0，＋∞）存在唯一的零點．故g′（x）在（0，＋∞）存在唯一的零點．設此零點為α，則α∈（1，2）．

當x∈（0，α）時，g′（x）＜0；當x∈（α，＋∞）時，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，＋∞）的最小值為g（α）．又由g′（α）＝0，可得eα＝α＋2，所以g（α）＝α＋1∈（2，3）．

由于①式等價于k＜g（α），故整數k的最大值為2．

【評注】本題中，由于g′（x）不能直接定號，因此采取以g′（x）為新的起點，令h（x）＝ex－ax－2，進而對h（x）進行求導分析．由對h′（x）的符號討論得出h（x）的單調性，進而得出h（x）的最值；再由h（x）的符號，得出g（x）的單調性，進而得出g（x）的最值．可謂步步逆推，思維縝密．

5．數形結合解含參數的導數題

（解法1）代數邏輯逐一推理求解

直線l：y＝kx－1與曲線y＝f（x）沒有公共點，等價于關于x的方程在R上沒有實數解，即關于x的方程：在R上沒有實數解．

令g（x）＝xex，則有g′（x）＝（x＋1）ex，

當x∈（－∞，－1）時，g′（x）＜0．所以g（x）單調遞減；當x∈（－1，＋∞）時，g′（x）＞0．所以g（x）單調遞增．故當x＝－1時，，同時當x趨于＋∞時，g（x）趨于＋∞，所以g（x）的取值范圍為

綜上①②，得k的最大值為1．

（解法2）以“形”助“數”，圖形直觀求解

直線l：y＝kx－1與曲線y＝f（x）沒有公共點，等價于關于x的方程在R上沒有實數解，等價于函數的圖象無交點．

【評注】畫出與條件相對應的圖形，實現“數”向“形”的轉化，再根據“形”的特征及性質，建立符合條件的關系式，實現“形”向“數”的轉化，這種“數”與“形”融為一體的解題方法，是解函數綜合問題的重要方法．因此，巧妙運用“數形結合”思想解題，可以化抽象為具體，回避數的冗長與生澀難懂，效果事半功倍．

【變式練習】（2011·河南省聯考）已知函數f（x）＝x3＋2x2－ax＋1．若函數g（x）＝f′（x）在區間（－1，1）上存在零點，求實數a的取值范圍．

【提示】此題可以用分離參數轉化為3x2＋4x＝a在區間（－1，1）上的有解問題，也可轉化為直線y＝a與曲線y＝3x2＋4x在（－1，1）上的交點問題，同時要數形結合．

（作者單位：甘肅省張掖市臨澤一中）