挖隱含 構(gòu)函數(shù) 巧證數(shù)字型不等式

甘肅 魏正清

挖隱含 構(gòu)函數(shù) 巧證數(shù)字型不等式

甘肅 魏正清

近幾年高考壓軸題中的有些數(shù)字型不等式，若從正面去直接證明，往往感到非常棘手，但若能深入研究不等式本身的結(jié)構(gòu)特征，挖掘潛在信息，從題目已知的函數(shù)入手，恰當?shù)娜√刂?，巧妙的?gòu)造函數(shù)模型，構(gòu)造恒成立不等式，常常會出其不意，攻其不備，巧妙破解一類高考壓軸題．本文例述證明這類數(shù)字型不等式的模式化策略．

【例1】（2011·全國Ⅱ理）（1）設(shè)函數(shù)f（x）＝ln（1＋x）－，證明：當x＞0時，f（x）＞0；

（2）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為p．

潛在信息 只需證明對數(shù)小于或大于某個常數(shù)，也就是需要構(gòu)造對數(shù)不等式．

隱含條件 由（1）知當x＞0時，f（x）＞0恒成立．

【例2】（2014·新課標Ⅱ理）已知函數(shù)f（x）＝exe－x－2x．

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)g（x）＝f2（x）－4bf（x），當x＞0時，g（x）＞0，求b的最大值；

潛在信息1 只需尋求對數(shù)不等式．

隱含條件1 由（2）知當b≤2時，g（x）＞0恒成立．

（1）求常數(shù)b的值；

（2）當0≤x≤1時，關(guān)于x的不等式f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

于是當x∈（0，1）時，g（x）＜0，得f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．

從而f（x）＜0，x∈（0，1）恒成立．

（作者單位：甘肅省臨澤一中）