放縮思想在恒成立和存在性問題中的運用

鄧國平

“恒成立”與“存在性”是數學高考的重點與熱點之一，通常由不等式、函數、方程、數列等相互結合起來，是培養學生數學能力的良好素材，其解題思想就是放縮思想。本文結合例題，逐一剖析放縮思想在解題中的應用。

一、恒成立問題和存在性問題的基本類型

第一，恒成立問題的轉化。①恒成立；恒成立。②能成立；能成立。

第二，設函數、，對任意的∈，存在∈，使得≥，則≥。

第三，設函數、，對任意的∈，存在∈，使得≤，則≤。

第四，設函數、，存在∈，存在∈，使得≥，則≥。

第五，設函數、，存在∈，存在∈，使得≤，則≤。

第六，設函數、，對任意的∈，存在∈，使得=。設在區間上的值域為，在區間上的值域為，則?。

二、先分離參數，再放縮，后構造函數題型

例1.若≤1，不等式恒成立，求實數的范圍。

分析：求的范圍，關鍵是利用參數分離的方法把參數分離出來。

解：令∈∈∞，原不等式可變為。

即只要，∵（）2≤，∴。

評析：該題先采用分離變量，再運用恒成立的方法處理，從而得到變量的取值范圍。在解答這類問題時，學生可以考慮利用函數的單調性、函數的圖像、二次函數的配方法、三角函數的有界性、均值定理、函數求導等知識求出函數的最值。

三、注意恒成立問題與存在性問題的區別

例2.已知函數∈，。①若?∈，均有≤，求的取值范圍；②?1∈，?2∈，使得≤成立，求的取值范圍。

解：①構造函數，則≥0

≥，≥∈∞。

②原問題可轉化為≤，而

，。

恒成立問題與存在性問題是高中數學的常見問題，經常與參數的范圍緊密聯系在一起。在教學過程中，教師可以運用函數的性質和圖像，結合換元思想、化歸思想、數形結合思想、函數與方程等展開教學。

總而言之，在數學教學過程中，要想提高恒成立問題與存在性的教學效果，教師必須注意以下兩方面：第一，激發學生數學學習的興趣。眾所周知，學習興趣是學習動力的源泉，是構成學習動機最真實、最活躍的心理成分。托爾斯泰曾說過：“成功的教學所需的不是強制， 而是激發學生的興趣。”有興趣的學習，不僅能使學生全神貫注，而且能引發學生的積極思考。可見，激發學生學習數學的興趣，是提高教學質量的前提；第二，充分發揮教師的主導作用。教師的主要目的是傳道、授業、解惑，在講課過程中，教師運用多年的教學經驗，把知識點融于學生的常識中，就很容易激發學生的學習興趣。因此，教師要深鉆教材、吃透教材，找出規律、緊扣重點，突破難點、認真備課，才能培養學生的邏輯思維與觀察能力， 開發學生的智力。

（作者單位：江西省南昌市新建二中學）