空間向量在求線面角中的應用

周明星

（甘肅省隴南市武都區兩水中學）

探索篇·方法展示

空間向量在求線面角中的應用

周明星

（甘肅省隴南市武都區兩水中學）

以空間幾何體為載體考查空間角與空間距離是歷年高考命題的重點與熱點，而考查的重心又以線面角和二面角為主，常以解答題的形式進行考查，空間向量在處理立體幾何問題時具有很大的優越性，能把推理性問題具體化、運算化，即通過點的坐標和平面的法向量，把立體幾何中的平行、垂直、線面角、二面角、距離等關系用向量的方式表達出來，使立體幾何問題簡單化。

立體幾何；空間向量；法向量；線面角

以空間幾何體為載體考查空間角與空間距離是歷年高考命題的重點與熱點，而考查的重心又以線面角和二面角為主，常以解答題的形式進行考查，空間向量在處理立體幾何問題時具有很大的優越性，能把推理性問題具體化、運算化，即通過點的坐標和平面的法向量，把立體幾何中的平行、垂直、線面角、二面角、距離等關系用向量的方式表達出來，使立體幾何問題簡單化。

空間向量的應用難度主要體現在如何巧妙建立空間直角坐標系和坐標的準確運算上，空間向量解決立體幾何問題繞開了復雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行求解。

空間向量應用的核心思想是轉化，利用空間直角坐標系，通過向量的運算解答問題，達到幾何問題代數化的目的，同時還要注意，坐標運算的準確性，一絲一毫的馬虎將全盤皆輸。

空間向量解決線面角時，關鍵在于“四破”：（1）破“建系關”，即構建恰當的空間直角坐標系；（2）破“坐標關”，即準確求出相應各點的坐標；（3）破“法向量關”，即準確求解平面的法向量；（4）“公式關”，即準確應用公式求解。

下面，我就利用法向量求解線面角大小的基本方法與具體思路作簡單的說明。

一、空間向量解線面角的原理及解法

已知：平面α與直線l交于A點，求直線l與平面α所成的角。

圖1

取直線上的任意向量AB，如圖1所示：

二、應用舉例

例1.如圖2所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，求直線DF與平面ACEF所成角的正弦值；

圖2

解：如圖3，以C為坐標原點，CD為x軸正向，CB為y軸正向，CE為z軸正向，建立直角坐標系O-xyz，A（2，2，0），B（0，2，0），C（0，0，0），D（2，0，0），F（2，2，1），E（0，0，1），連接BD，則AC⊥BD.

圖3

因為平面ABCD⊥平面ACEF，且平面ABCD∩平面ACEF= AC，所以是平面ACEF的一個法向量。

例2.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，求BD與平面A1ED所成角的正弦值。

圖4

三、幾點說明

立體幾何，是高考6道解答題中的必考題，向量法是解決立體幾何問題的一種常用方法。與傳統方法（即：幾何法）相比，向量法對思維能力要求比較低，并且解題思路簡潔、清晰，可操作性強。

然而，在用向量法解決問題中，學生經常會遇到一些困惑：

1.不會恰當建系。

2.不能熟練求解個別關鍵點的坐標。而這兩個問題中恰當建系是基礎，也是關鍵。因為恰當建立空間直角坐標系，往往可以簡化運算，使問題變得簡潔、明了。

3.可以直接建系的幾何體都有一個共同的特點：在幾何體中,都存在或隱含有三條兩兩垂直的線（三條線不一定共點）；建系時，坐標原點往往設在交叉位置或幾何體的對稱位置。

通過以上例題，我們發現立體幾何的點面、線面、面面之間的關系都可以統一為空間向量的計算，而要研究線面角則可以從它們的方向向量和法向量入手，通過空間向量的夾角公式來解決。

立體幾何讓三維空間變得更充實，向量法又給此類問題的解決插上了騰飛的翅膀。要用向量法解題，就得先建系！而恰當建系是向量法解題的前提和關鍵。希望我今天的發言能給大家有所幫助，如有不足，請多多指教！

［1］喬全福.空間向量在立體幾何中的應用［J］.青海教育，2014.

［2］郭明甫.向量法解立體幾何探索性命題“三部曲”［J］.高中數學教與學，2011.

·編輯魯翠紅