化歸思想在初中數學教學中的運用

應素群

（浙江省臺州市黃巖西城中學）

探索篇·方法展示

化歸思想在初中數學教學中的運用

應素群

（浙江省臺州市黃巖西城中學）

化歸就是在研究和解決數學問題時采用某種方式，借助某種函數性質、圖象、公式或已知條件等將問題通過變換使之轉化，進而達到解決問題的一種思想。化歸思想是中學數學最基本的思想方法，也是最重要的思想方法之一，在數學解題中幾乎無處不在，它不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式。應用化歸思想解題時的原則是化難為易、化生為熟、化繁為簡、化未知為已知，本文就談談化歸的幾種常用方法在數學解題中的運用。

一、數與形的轉化

通過挖掘已知條件的內涵，發現式子的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性化繁為簡，從而解決問題。

乘法公式中的平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的幾何意義表述就是一個很好的例證，利用幾何圖形的面積完美地驗證了公式的正確性。

例1.如下圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a＞b），再重新拼圖，兩圖中的陰影部分面積分別為a2-b2和（a+b）（a-b），則可得到公式（a+b）（a-b）=a2-b2。

類似的，完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2也可用數與形的轉化來驗證。

數與形是數學研究的兩大基本對象，由于坐標系的建立，使數與形互相聯系，互相滲透，因此，函數問題中此種方法更常見，用函數圖象來刻畫函數解析式就是很好的例證。

二、函數與方程或不等式的轉化

函數是中學數學的一個重要概念，它滲透在數學的各部分內容中，是用運動變化的觀點分析和研究具體問題中的數量關系。方程和不等式則是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯系。方程f（x）=0的解就是函數y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標，不等式f（x）＞0的解集就是函數圖象位于x軸上方時自變量的取值范圍。要確定函數變化過程中的某些量，經常要轉化為求出這些量滿足的方程或不等式的解或解集，函數是變量的動態研究，而方程不等式是動中求靜，研究運動中的變量關系。

例2.二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如下圖，請根據圖象回答下列問題：

（1）寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根；

（2）寫出x為何值時，y的值大于0；

（3）若方程ax2+bx+c=m沒有實數根，求m的取值范圍。

解析：（1）圖象的頂點坐標（1，2）與x軸的一個焦點坐標為（-1，0），根據拋物線的對稱性，可得與x的另一個交點坐標為（3，0），可得方程ax2+bx+c=0的兩根為x1=-1，x2=3；（2）根據圖象把不等式問題轉化為函數圖象在x軸上方時x的取值范圍，易得-1＜x＜3；（3）可以把問題轉化為求拋物線y=ax2+bx+c與直線y=m無交點時，m的取值范圍。由圖象可直觀地得到m＞2，把復雜的問題簡單化，把方程或不等式問題轉化為函數圖象問題，從而解決問題。此類問題也體現了數與形的轉化和統一，數學的美無處不在。

三、特殊與一般的轉化

對于那些結論不明或解題思路不易發現的問題，可先用特殊情形探究解題思路或命題結論，再在一般情況下給出證明。

例3.已知下面一列等式：

①請根據這些等式的結構特征寫出它的一般性等式，并驗證你寫出的等式是否成立；

一般成立，特殊也成立。特殊可以得到一般性的規律，一般性的規律用來解決特殊問題，這種辯證思想在初中數學中普遍存在，經常運用，這也是化歸思想的體現。

四、等與不等的轉化

等與不等的轉化主要是化相等為不等和化不等為相等，在等與不等的矛盾轉化中基本不等式、方程思想、函數的性質經常發揮著重要的作用，它們是等與不等關系差異的聯系所在。

例4.已知正實數a、b滿足ab=a+b+8，則a+b的最小值為。

解析：根據基本不等式（a+b）2≥4ab，得（a+b）2≥4（a+b）+32，令x=a+b，則x-4x-32≥0，x≥8或x≤-4（舍去），所以a+b的最小值為8。

解析：根據平方根的意義，有x-1≥0和1-x≥0成立，于是得到x=1這一等式的成立，把不等關系轉化相等關系，求得y=3，于是有xy=13=1，問題得解。

相等關系與不等關系既是對立統一的，又是相互聯系的，在一定條件下可以互相轉化，把復雜的問題簡單化，也體現了數學的對稱美和統一美。

五、正與反的轉化

解題一般是從正面著手，習慣于正向思維，對于那些從正面很難解決的問題，不妨從其反面入手，從而使正面問題得以解決，此法也稱為逆向思維。

例5.求證：三角形的三個內角中至少有一個不大于60°。

解析：要解決本題，從正面著手有困難，此時可以從反面“三角形的三個內角都大于60°”著手，引出與“三角形三個內角和為180°”這一定理相矛盾，從而反面不成立，即正面成立，問題得解。

此法亦稱反證法，我們假定結論不成立，即結論的反面成立，經過推理論證，得出與已知條件或公理、定理相矛盾的結論，從而得出假設錯誤，亦即原命題成立的結論。

六、高維與低維的轉化

物體的空間形成，總是表現為不同維數且遵循由低維向高維的發展規律，通過降維轉化，可把問題由一個領域轉換到另一個領域而得以解決，這種轉化在初中數學的幾何中比較常見。

例6.如下圖，圓柱的底面半徑為6 cm，高為10 cm，螞蟻在圓柱表面爬行，從點A爬到點B的最短路程是多少厘米（結果保留小數點后一位）？

解析：圖a是立體圖形中的問題，路徑是一條曲線，把圓柱的側面展開成圖b，不難發現，最短路程即為線段AC的長，于是有

此類空間路徑最短問題，可通過立體圖形的側面展開圖將其轉化為平面上的路徑最短問題，利用“兩點之間線段最短”來解決，即把高維向低維轉化，從而解決問題。

除此之外，還有很多知識之間都存在著相互滲透和轉化，比如多元轉化為一元、高次轉化為低次、分式轉化為整式、多邊形轉化為三角形等，化歸在數學解題中幾乎無處不在，它滲透了數學教學的各個領域和解題過程的各個環節，掌握好化歸的技能和技巧將大大提高解題的速度和質量。

［1］張柏.化歸思想在初中數學教學中的滲透與應用［J］.新課程（下），2013（4）.

［2］況玲.化歸思想在初中數學教學中的應用［J］.數學學習與研究，2016（14）.

·編輯魯翠紅