一道題的反思

魏計(jì)玲

（山西省晉中市榆次五中）

探索篇·方法展示

一道題的反思

魏計(jì)玲

（山西省晉中市榆次五中）

今天，學(xué)生拿著題來問我，題目是這樣的：如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，△ECF的周長(zhǎng)為4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為______

圖1

很熟悉的圖形，前兩天剛解決過的一道題，當(dāng)時(shí)是求證EF= BE+FD，這兩道題如出一轍，可學(xué)生為什么把它們聯(lián)系不起來呢？仔細(xì)想來，學(xué)生大量的做題，每道題獨(dú)立出現(xiàn)，如果不深入思考，今天做會(huì)這個(gè)，明天稍有變化，又是一道新題，又得從頭再來，如何能讓學(xué)生對(duì)所做的習(xí)題進(jìn)行變通、推廣，在不同角度、不同層次、不同情形、不同背景下重新認(rèn)識(shí)呢？

于是，我對(duì)此題進(jìn)一步研究，并查閱相關(guān)資料，對(duì)這道題進(jìn)行不同的變換，在課堂上和學(xué)生一起討論、交流，希望能起到舉一反三的作用，同時(shí)也教給學(xué)生一種有效的復(fù)習(xí)方法。

一、掌握原題的基本方法

原題：如圖2，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，連接EF，求證：EF=BE+FD

圖2

引導(dǎo)學(xué)生歸納解決這一問題的方法：運(yùn)用旋轉(zhuǎn)，將△ABE和△ADF拼成一個(gè)三角形，通過證明三角形全等來證明結(jié)論。

二、對(duì)題目進(jìn)行反思、探究

1.交換條件與結(jié)論，探究逆命題是否成立。學(xué)生運(yùn)用剛才解決問題的方法，輕松得到結(jié)論，逆命題成立。

2.發(fā)散性思維訓(xùn)練，在原條件下，你還能得到哪些結(jié)論？

結(jié)合剛才的證明過程，學(xué)生還可以發(fā)現(xiàn)EA、FA分別平分∠BEF和∠EFD這一結(jié)論。

3.有了以上的發(fā)現(xiàn)，我給出了學(xué)生三個(gè)問題：

原條件不變，

（1）求證S正方形ABCD：S△EAF=2AB：EF。

（2）若BE=2，DF=3，求AB的長(zhǎng)。

（3）若F是DC的中點(diǎn)，則tan∠AFE=，cos∠AEB=。

在解決問題（1）時(shí)。因?yàn)镾四邊形ABCD=AB2，易證△AEF中EF邊上的高與正方形邊長(zhǎng)相等，即可證得結(jié)果，用到了EA平分∠BEF或FA平分∠EFD的結(jié)論。

在解決問題（2）時(shí)，用到了BE+FD=EF這一結(jié)論，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，用含有x的式子表示出△ECF三邊，利用勾股定理列方程即可得到AB的長(zhǎng)，更進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在BE，F(xiàn)D，AB三邊中已知其中兩條，即可求得另一條，從而將這一求解過程一般化。

在這一過程中，通過補(bǔ)充相應(yīng)的問題的條件，對(duì)原題進(jìn)行了引申、發(fā)展、拓展，增加了問題的背景，增大了發(fā)散思維。

三、再對(duì)題目進(jìn)行類比引申

只有正方形才有類似的結(jié)論嗎？引導(dǎo)學(xué)生做以下變形：

引申一:

（1）如圖3，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B和∠D都不是直角，∠B、∠D滿足怎樣的等量關(guān)系時(shí)，會(huì)有EF=BE+DF。

圖3

事實(shí)是，當(dāng)∠B+∠D=180°時(shí)，EF=BE+DF，分析其本質(zhì)特征，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)△ABE和△ADF能合成一個(gè)三角形，并且與△AEF全等，只要這一特征在，結(jié)論就成立，然后引導(dǎo)學(xué)生探究剛才的問題，∠B+∠D=180°的前提下，若EF=BE+DF,則∠EAF=45°成立嗎？EA、FA還平分∠BEF和∠EFD嗎？結(jié)論是肯定的。

圖4

這一過程中，引導(dǎo)學(xué)生從特殊性到一般化，加強(qiáng)了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，也培養(yǎng)了學(xué)生分析問題的能力。

引申二：

若改變問題的背景，即將正方形變成三角形，結(jié)果又如何呢?為此設(shè)計(jì)了以下題目:

如圖5，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程。

圖5

在解決這一問題時(shí)，可以看到本質(zhì)條件仍然在，即∠BAC= 90°，AB=AC，基本方法仍然適用。旋轉(zhuǎn)△ABE，全等也依然要證明，只不過結(jié)論變成了DE2=BD2+EC2，這是由∠B+∠ACB=90°這一條件形成的。

通過對(duì)問題的引申，引發(fā)學(xué)生對(duì)問題的思考，抓住本質(zhì)的內(nèi)容，從中既體會(huì)到條件的變化，也體會(huì)到萬變不離其宗，即解決問題的基本方法不變，進(jìn)一步得到更為一般的結(jié)論，提高了學(xué)生的應(yīng)變能力。

四、最后總結(jié)性的實(shí)踐運(yùn)用

經(jīng)過一系列的學(xué)習(xí)、探究、引申，為檢測(cè)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的掌握情況，我設(shè)計(jì)了如下題目：

圖6

解決這一問題時(shí)，既用到了正方形中，EF=BE+DF這一結(jié)論，又用到了直角三角形中MN2=BM2+ND2這一結(jié)論，鞏固了所學(xué)，也提高了學(xué)生解決問題的能力。

通過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生眼里的題目不再是單獨(dú)的一個(gè)點(diǎn)，而是一類，學(xué)到了一些數(shù)學(xué)方法，體會(huì)了一些數(shù)學(xué)思想，也了解了一個(gè)推向一般性的結(jié)論。

我想，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若將經(jīng)典例題、習(xí)題充分揣摩，經(jīng)常進(jìn)行這樣的反思、探究、引申，不但可以抓好基礎(chǔ)知識(shí)，還可以激發(fā)學(xué)生的探究欲望，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。在縱橫發(fā)散中，達(dá)到知識(shí)串聯(lián)，綜合溝通，起到舉一反三的效果，從而提高了學(xué)生的綜合分析能力和數(shù)學(xué)思維能力。

·編輯魯翠紅