淺談數形結合思想在解題中的應用

吳勝珍

（福建省福州市閩侯縣第六中學）

探索篇·方法展示

淺談數形結合思想在解題中的應用

吳勝珍

（福建省福州市閩侯縣第六中學）

數形結合思想是數學解題過程中非常重要且好用的指導思想，在數學的廣袤領域中，數與形可謂左膀右臂，彼此相輔相成。數與形各有其優點，也各有其不足之處。巧妙應用數形結合思想，不言而喻，在解題中將易做到巧解、快解，進而提高解題效率。

數形結合；解題；應用

數與形是數學問題中的兩大模塊，兩者看似有著天壤之別，實則息息相關。數是抽象繁瑣的代碼，通過形的轉化可將之形象化，通過對圖形的觀察發現潛在規律，從而找到更加快捷的解題途徑。而對于一些復雜的圖形，通過數的轉化，可將復雜難解的幾何問題簡單化成單純的代數運算，從而省去大把尋找解題思路的時間。由此觀之，數與形各有千秋，數形結合思想若能熟練掌握、巧妙應用，將是解題中的一大利器。

掌握數形結合思想，要求我們對代數式的結構有充分的分析、變形、聯想能力，對形的幾何特征、幾何意義有深入的挖掘和準確的把握，要樹立數形一體的思維框架，這極其考驗一個學生的數學修養。

一、數形結合和不等式

一些復雜的不等式題目，若直接從代數角度出發尋找解題思

路往往費解甚至走進死胡同。此時若能下意識觀察代數式的結構

通過以上兩個例題我們可以發現，解決復雜的不等式問題，走數形結合的道路往往趨利避害、事半功倍。這就要求我們對于式子的結構有深入的剖析，對式子的變形技巧靈活掌握，對常見的兩點距離公式、點線距離公式、圓錐曲線定義及方程等知識點有全面的掌握，同時兼備有豐富的聯想能力。

二、數形結合與向量

向量是數學中一個獨特的工具，因為它具備基底形式的轉化和運算，又具備坐標方面的代數運算，因此，向量常常被作為連接代數和幾何的橋梁，數形結合的思想在解決向量的題目中往往是一把利刃。

例題3.已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足（c+a）·（c-b）=0，則|c|的最大值是？

此題無論從基底還是坐標的角度都十分費解，但是如果能夠抓住題干中的眾多垂直關系加以利用，構造適合的圖形觀察幾何特征就會發現更加快捷的解題途徑。解法如下：如下圖做向量OA⊥OB，記向量OA，OB分別為a，b，根據直徑對應的圓周角為直角，則向量c為以O為起點，終點在以AB為直徑的圓上記作C，易特征，往幾何方向聯想，往往會有柳暗花明之感。

不僅僅是平面向量，數形結合在空間向量中的應用也同樣簡便，尤其是在解決立體幾何的題目中。在計算空間角、證明平行、垂直等位置關系中，化空間關系為簡單明了的向量坐標運算，將會大大減輕解題負擔、

三、數形結合與函數

函數作為中學階段的一個重要且熱門的考點，將數形結合的思想體現得淋漓盡致。函數的特殊性在于它兼具了圖象和方程兩個性質。函數的圖象將函數獨有的單調性、零點、極值、最值、漸進等各項幾何特征以最直觀的方法表現出來，便于我們做出草圖，進行初步的定性分析。而要做一些精確的定量，就需要借助方程，從代數角度運算。正如華羅庚所言：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。”只有掌握好數形結合的思想，才能將復雜多變的函數問題系統化，才能將函數研究清楚。

通過函數的幾何特征求一些未知數的值或者取值范圍是函數一類常考的題型，這就需要我們做出適當的草圖，尋找幾何關系，列出方程或不等式求解。

A.（1，+∞）B.（-1，1）

C.（-∞，-1）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）

除此之外，在函數中求解恒成立問題、存在性問題等大題，甚至在一些復雜的三角函數值域及倒數問題中，數形結合思想往往作為主導思想貫穿著整個解題思路，形的不確定性、未知數取值變化的影響往往被作為分類討論的依據，因此，數形結合思想在解決函數問題中的重要作用可見一斑。要掌握數形結合的方法，解決好函數千變萬化的題目，要求我們對各項初等函數的圖象及其特征充分把握，對未知數取值的影響有全面深入的分析。

四、數形結合與數列

像數列這種看似純粹研究數的模塊中，數形結合思想仍然發揮著舉足輕重的作用。就拿特殊數列——等差數列來說，其前n項和的表示式經化簡為Sn=An2+Bn形式，就發現它的所有點是經過原點的拋物線上的點。于是對等差數列最大、最小項，以及對其前n項和最值、相等項的研究，就可以轉化成對二次函數圖象的研究，而借助二次函數圖象的對稱性，就可以達到巧解、速解的效果。

例5.等差數列{an}中，a1＞0，S6=S10，則（1）n=時，Sn取得最大值；（2）S16=_____

如果知道借助二次函數圖象求解，此題將十分容易：由于等差數列前n項和可寫成Sn=An2+Bn的形式，由已知S6=S10可知對應的二次函數的對稱軸應是x=8，且公差小于零，開口向下，有最大值，于是可知n=8時，Sn取得最大值，因為二次函數圖象過原點，所以過點（16，0），即S16=0。

變式：等差數列{an}中，S9＞0，S10＜0，則當n=_____時，Sn最大。

五、數形結合與概率

數形結合思想甚至可以滲透到概率領域。最為典型的就是幾何概型。但是在解決一些復雜實際問題時，人們就往往會遺忘形的輔助作用。其實，借助適當圖形解決概率問題，可能會使得抽象復雜的問題更加明了直觀。

例6.甲、乙兩人約定在晚上7時到8時之間在公園門口會面,并約定先到者應等候另一個人15分鐘,還未來即可離去，那么兩人能見面的概率是多少?

綜上對各類題目的分析，我們不難發現，數形結合思想在數學中的適用性是極其廣泛的。數學并不僅僅是研究“數”的一門學科，也是研究“形”的一門學問。數與形，兩者息息相關，如同工匠的左膀右臂，相輔相成，才能構建一座富麗堂皇的數學城堡。其實，數形結合思想遠不止局限在不等式、向量、函數、列、概率等問題，它可能滲透到數學所能涉及的各個領域，熟練掌握數形結合，將會對我們的解題產生莫大的幫助。而要想培養一個人的數形結合思想，就必須要有豐富的知識儲備，有廣闊縝密的思維，要善于聯想，突破常規思維的限制，這就極其考驗一個人的數學修養。

總而言之，數形結合思想有其顯著的優越性和廣泛的適用性，它是解決各項數學問題的一把利刃，掌握它，在解題過程中將如虎添翼！

［1］李曼.淺談數形結合思想在高中數學解題中的應用［J］.語數外學習（數學教育），2013（8）.

［2］許麗英，李碧榮.淺析數形結合思想在高考數學解題中的應用［J］.數學教學研究，2012（8）.

［3］徐國央.數形結合思想在數學解題中的應用［J］.寧波教育學院學報，2009（1）.

·編輯魯翠紅