分段函數(shù)常見的題型及解法簡(jiǎn)析

羅青松

中圖分類號(hào)：G633.34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2016）02-0188-02

所謂分段函數(shù)指的是自變量在不同的取值范圍內(nèi)，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)；它是一個(gè)函數(shù)，卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)。分段函數(shù)由于是分段定義的，與一般函數(shù)有著明顯的區(qū)別，學(xué)生往往受負(fù)遷移的影響，對(duì)分段函數(shù)問題的認(rèn)識(shí)不清或思維片面產(chǎn)生解題錯(cuò)誤。由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的考查上有較好的作用，時(shí)常在高考試卷中"閃亮"登場(chǎng)，本人就分段函數(shù)常考的幾類題型做了一些整理與思考，分享如下：

題型一：求分段函數(shù)的定義域和值域，最值

例1.求函數(shù)f（x）=2x+2，x∈[-1，0]-12x，x∈（0，2）3，x∈[2，+∞）的定義域、值域，最大值。

【解析】作出函數(shù)圖象，利用"數(shù)形結(jié)合"易知f（x）的定義域?yàn)閇-1，+∞），值域?yàn)椋?1，3]，f（x）max=3；當(dāng)然本題也可以分段求出各段的值域（分析各段的單調(diào)性）及最值，然后給出結(jié)論。

【小結(jié)】分段函數(shù)的定義域和值域都是取各段的并集，最值則是各段中的最大者（或最小者）。

題型二：求分段函數(shù)的函數(shù)值

例2.（05年浙江理）已知函數(shù)f（x）=|x-1|-2，（|x|≤1）11+x2，（|x|>1）求f[f（12].

【解析】因?yàn)閒（12）=|12-1|-2=-32，所以f[f（12）]=f（-32）=11+（-32）2=413.

變式：求f（a）呢？（對(duì)|a|與1的大小分類討論）

【小結(jié)】求分段函數(shù)的函數(shù)值關(guān)鍵是根據(jù)自變量的不同范圍找到對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，代入求值；若范圍不能確定，則需要分類討論；若有多層函數(shù)符號(hào)則往往由內(nèi)向外脫掉函數(shù)符號(hào)"f"，再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。

題型三：與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式問題

例3.1）（04年湖南理）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+bx+c，x≤0，x≤0，2，x>0若f（-4）=f（0），f（-2）=-2則關(guān)于x的方程f（x）=x解的個(gè)數(shù)為 （C）

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：本題的分段函數(shù)中含參，先代入條件求出bc，再準(zhǔn)確作出相關(guān)函數(shù)的圖象解答。

2）（07年湖南文.理）函數(shù)f（x）=4x-4，x≤1x2-4x+3，x>1的圖象和函數(shù)g（x）=log2x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（C）

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】對(duì)于（1），（2）這類方程的解的個(gè)數(shù)問題通常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，所以關(guān)鍵是準(zhǔn)確地利用分段函數(shù)圖象，考查"數(shù)形結(jié)合"的數(shù)學(xué)思想。

3）設(shè)函數(shù)f（x）=2-x-1（x≤0）x12（x>0），若f（x0）>1，則x0的取值范圍是（D）

A.（-1，1） B.（-1，+∞）

C.（-∞，-2）U（0，+∞） D.（-∞，-1）U（1，+∞）

【解析1】畫出y=f（x）和y=1的大致圖象，易知f（x0）>1時(shí)，所對(duì)應(yīng)的x0的取值范圍是（-∞，-1）U（1，+∞）.

【解析2】因?yàn)閒（x0）>1，當(dāng)x0≤0時(shí)，2-x0-1>1，解得x0<-1；

當(dāng)x0>0時(shí)，x012>1，解得x0>1，

綜上x0的取值范圍是（-∞，-1）U（1，+∞）.故選D.

【小結(jié)】與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式問題，理論上可以用代數(shù)法，主要考查"分類討論"的數(shù)學(xué)思想，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略各段中自變量的自身范圍；而更常用的卻是利用相關(guān)函數(shù)的圖象解決問題，重視"數(shù)形結(jié)合"的數(shù)學(xué)思想。

題型四：判斷分段函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間

例4.1）判斷函數(shù)f（x）=x3+x（x≥0）-x2（x<0）的單調(diào)性.

【解析】當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=3x2+1≥1恒成立，所以f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=-2x>0恒成立，f（x）也是單調(diào)遞增函數(shù)，且f（x）連續(xù).所以f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)；或畫圖易知f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù).

2）（2009湖南文.理）設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK（x）=f（x），f（x）≤KK，f（x）>K

取函數(shù)f（x）=2-|x|。當(dāng)K=12時(shí)，函數(shù)fK（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（C）

A.（-∞，0） B.（0，+∞） C.（-∞，-1） D.（1，+∞）

【小結(jié)】分段函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)分段考慮，若函數(shù)圖象在定義域上一直上升或下降則函數(shù)在整個(gè)定義域上單調(diào)，否則單調(diào)區(qū)間必須寫成多個(gè)區(qū)間，且不能用"U"連接。

題型五：判斷分段函數(shù)的奇偶性

例5.判斷函數(shù)f（x）=x2（x-1），x>00，x=0-x2（x+1），x<0的奇偶性.

【解析】當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，f（-x）=-（-x）2（-x+1）=x2（x-1）=f（x），

當(dāng)x=0時(shí)，f（-0）=f（0）=0，

當(dāng)x<0，-x>0，f（-x）=（-x）2（-x-1）=-x2（x+1）=f（x）

因此，對(duì)于任意x∈R都有f（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù).

當(dāng)然，本題如果是小題也可以通過作出函數(shù)圖象，判斷是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱作出判斷。

【小結(jié)】判斷分段函數(shù)的奇偶性易錯(cuò)點(diǎn)：求f（-x）時(shí)常忘記由于-x的范圍發(fā)生改變，對(duì)應(yīng)的表達(dá)式也對(duì)應(yīng)改變；其次必須是各段的奇偶性都一致才能下結(jié)論。

題型六：利用奇偶性或周期性求分段函數(shù)的解析式

例6.已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=x（1+x），求函數(shù)f（x）在（-∞，0]上的解析式。

分析：此種情形較簡(jiǎn)單，問什么設(shè)什么，設(shè)x∈（-∞，0]，則-x∈[0，+∞），根據(jù)已知先求出f（-x）的解析式，再運(yùn)用f（-x）與f（x）的關(guān)系即可解決問題。

【解析】設(shè)x∈（-∞，0]，則-x∈[0，+∞），∵當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，有f（x）=x（1+x），

∴f（-x）=（-x）[（1+（-x）]，又∵f（-x）=-f（x）

∴f（x）=-f（-x）=x（1-x）（x≤0）

變式1：已知函數(shù)f（x）定義在R上，且周期為2，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=-x2+1，求f（x）在區(qū)間[1，3]上的解析式；

分析：本題的關(guān)鍵是如何利用已知條件將x∈[1，3]轉(zhuǎn)化到x∈[-1，1]這個(gè)區(qū)間上求相應(yīng)的解析式，考慮周期性，則x-2∈[-1，1]，由此先求出f（x-2）的解析式，再運(yùn)用f（x）=f（x-2），即可解決問題。

【解析】設(shè)x∈[1，3]，則x-2∈[-1，1]，故f（x-2）=-（x-2）2-1=-x2+4x-3，∵函數(shù)f（x）的周期為2，∴f（x）=f（x-2）=-x2+4x-3（1≤x≤3）。

變式2：已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且周期為3，當(dāng)x∈[-3，-2]時(shí)，f（x）=x2+x，求f（x）在[-1，0]上的解析式。

分析：此種情形相對(duì)較復(fù)雜，須同時(shí)應(yīng)用奇偶性和周期性求解析式，但理清思路可化繁為簡(jiǎn)。

【解析】設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，-x-3∈[-3，-2]，

∵當(dāng)x∈[-3，-2]時(shí)，有f（x）=x2+x，

∴f（-x-3）=（-x-3）2+（-x-3），

又∵f（x）是周期為3的奇函數(shù)，

∴f（-x-3）=f[-（x+3）]=-f（x+3=-f（x），

即f（x）=-f（-x-3）=-x2-5x-6（-1≤x≤0）。

【小結(jié)】此類問題的關(guān)鍵是"問誰(shuí)設(shè)誰(shuí)"，再結(jié)合奇偶性或周期性將未知量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解，最后又要利用奇偶性或周期性回到所求，得到結(jié)果。

當(dāng)然，本人對(duì)于分段函數(shù)的認(rèn)識(shí)還較膚淺，也不能將所有問題都全面概括，但是，本人認(rèn)為在以上分段函數(shù)性質(zhì)的考查中，不難得到一種解題的重要途徑，若能畫出其大致圖象，定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等問題就會(huì)迎刃而解，方程、不等式等可用數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及函數(shù)思想來解，使問題得到簡(jiǎn)化，而且效果明顯。