分段函數常見的題型及解法簡析

羅青松

中圖分類號：G633.34 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）02-0188-02

所謂分段函數指的是自變量在不同的取值范圍內，有不同的對應法則的函數；它是一個函數，卻又常常被學生誤認為是幾個函數。分段函數由于是分段定義的，與一般函數有著明顯的區別，學生往往受負遷移的影響，對分段函數問題的認識不清或思維片面產生解題錯誤。由于它在理解和掌握函數的定義、函數的性質等知識的考查上有較好的作用，時常在高考試卷中"閃亮"登場，本人就分段函數常考的幾類題型做了一些整理與思考，分享如下：

題型一：求分段函數的定義域和值域，最值

例1.求函數f（x）=2x+2，x∈[-1，0]-12x，x∈（0，2）3，x∈[2，+∞）的定義域、值域，最大值。

【解析】作出函數圖象，利用"數形結合"易知f（x）的定義域為[-1，+∞），值域為（-1，3]，f（x）max=3；當然本題也可以分段求出各段的值域（分析各段的單調性）及最值，然后給出結論。

【小結】分段函數的定義域和值域都是取各段的并集，最值則是各段中的最大者（或最小者）。

題型二：求分段函數的函數值

例2.（05年浙江理）已知函數f（x）=|x-1|-2，（|x|≤1）11+x2，（|x|>1）求f[f（12].

【解析】因為f（12）=|12-1|-2=-32，所以f[f（12）]=f（-32）=11+（-32）2=413.

變式：求f（a）呢？（對|a|與1的大小分類討論）

【小結】求分段函數的函數值關鍵是根據自變量的不同范圍找到對應的表達式，代入求值；若范圍不能確定，則需要分類討論；若有多層函數符號則往往由內向外脫掉函數符號"f"，再進行相關計算。

題型三：與分段函數有關的方程或不等式問題

例3.1）（04年湖南理）設函數f（x）=x2+bx+c，x≤0，x≤0，2，x>0若f（-4）=f（0），f（-2）=-2則關于x的方程f（x）=x解的個數為 （C）

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：本題的分段函數中含參，先代入條件求出bc，再準確作出相關函數的圖象解答。……