數學探究性問題剖析

朱廣科++孟凡敏

摘 要：探究性問題讓學生以獨立自主或合作討論為學習形式，運用操作、猜想、分析、實驗、推理、歸納、發現等學習方式解決的數學問題. 在數學教學中，對問題探究既注重學生數學實踐應用、動手能力的訓練，又強化數學思想方法的滲透，同時又兼顧學生閱讀分析、遷移知識解決問題能力的檢測，還改變了學生學習方式與探究問題的方式，凸顯過程性探究，引領過程性教學.

關鍵詞：探究性問題；閱讀理解；拓展遷移；規律探究

數學探究性問題是指讓學生以獨立自主或合作討論為學習形式，運用操作、猜想、分析、實驗、推理、歸納、發現等學習方式解決的數學問題. 其呈現方式可分為實踐操作型、規律探究型、閱讀理解型、拓展遷移型等幾種類型 [1].它一般包含問題的提出、數學模型的建立、問題的解決、數學知識的應用、醞釀與形成研究問題的方法等步驟. 這種問題通常以探索、研究、實驗操作等不同形式呈現于中考中，并借助恰當的數學素材，或是以幾何圖形為題材，或是以數學問題為背景等. 通過對相關問題的描述或逐步觀察、操作（包括數據分析、整理、運算或作圖、或證明）、歸納、研究等，進而發現問題、創新問題. 試題在注重考查相關基礎知識，基本技能、方法的同時，更注重考查對相關知識的聯想、探索、發現、總結歸納與創新，是近幾年中考改革中出現的新題型.

一、數學探究性問題的類型

（一）在閱讀理解中體驗

此類探究性問題通常是給出一段文字，讓學生領會其中的知識內容、方法要領，一般用于新定義、方法類比、判斷推理或遷移發展等類型的問題. 這類試題的結構一般分為閱讀材料和考查目標兩部分，通過閱讀理解，用新定義解決的一個相關問題；或類比提供的材料中所述的過程方法，去解決類似的相關問題；或對提供的材料進行歸納概括，依據對材料本質的理解進行推理，做出解答；或從提供的材料中，通過閱讀理解其采用的思想方法，將其概括抽象成數學模型去解決類似或更高層次的相關問題. 該類試題特點鮮明、內容豐富，不僅考查學生的閱讀能力，而且考查學生實現從模仿到創造的思維過程. 解題的關鍵是理解所給材料的作用和用意，核心在于理解.

（二）在拓展遷移中建構

此類探究性問題提供一段文字、素材或圖表材料，往往其中蘊含了一種解題思路，或展示一個數學要領、結論的形成和應用過程，或一個新數學公式的推導和應用，或介紹一種解題方法等. 在呈現方式上，問題的結論往往隱去，改用“是否存在”“是否成立”等問句表述，就可將原問題變成探究型問題. 有些特殊的問題，將其特殊的條件加以推廣，也可以得到該類型的探究型問題. 課本的例題和習題中有不少問題都可以通過增加、變換情境，改變設問方式，將一般性問題改為拓展遷移型問題. 也就是說，解題不是停留在某一問題上，而是就某一問題進行改造，即改變某一個或幾個條件，對原來的問題進行重新探索，作拓展性思考.

例2 （2015年福建莆田卷）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若點P是BF的中點，連結PC，PE.

特殊發現：如圖4，若點E，F分別落在邊AB，AC上，則結論：PC=PE成立（不要求證明）.

問題探究：把圖4中的△AEF繞著點A順時針旋轉.

該問題以特殊發現和問題探究為主線，主要考查全等三角形、相似三角形和旋轉等有關知識. 題目設置由特殊到一般，求解的途徑由全等到相似，求解的結果由具體到抽象，像這樣逐次遞進，既能考查學生所具有的能力，又凸顯了試題良好的區分度. 試題設計的3個問題由淺入深，特殊發現給我們暗示了探究的方向和解題方法，問題探究（1）（2）的方法是以特殊發現為基礎，通過改變點E，F的位置，圖形的形狀雖然發生了變化，但解決問題的方法不變，△CPB和△MPF的全等關系不變，即問題的本質不變. 整個問題的設計循序漸進，環環相扣，螺旋上升，解決問題的思路是互逆的，解決方法也是相通的，其核心是找到“變”中的“不變”. 這種以分層遞進的方式探討問題，能較好地考查學生的知識遷移能力和問題解決能力. 所以解決這類問題，首先要增強“用數學”的意識，解題的關鍵是理解所給材料的作用和用意，抓住題目中的關鍵詞，它一般是啟示我們如何解決問題或為了解決問題給我們提供工具、素材、方法及解題策略.

通過對拓展遷移型問題的探索，不僅對原問題獲得更深刻認識，同時獲得數學思維方法，形成數學能力. 整個探索過程，將原問題變成了一個開放型問題，讓學生利用類比等手法領略到發現和解決問題后的喜悅. 這也給我們的教學指明了方向，即數學教學應重視通性通法的落實，重視數學本質的揭示，尊重學生的個性差異，讓學生充分享受學習過程.

（三）在規律探究中醞釀

規律探究題是在特定的背景、情境或某些條件下，通過認真分析，仔細觀察，提取相關的數據、信息，進行適當的分析、綜合歸納，做出大膽猜想，得出結論，進而加以驗證或解決問題的一類探索題. 它一般先給出前幾項，讓學生探究后面某個或某幾個特定的項，再探索第n項的規律. 這樣由特殊到一般，由簡單到復雜，逐步深入. 這類問題具有隱蔽性、啟發性和遷移性，能否結合提出的問題，提取有價值的信息，排除干擾，從中找出規律是解決問題的關鍵，一般是通過觀察，聯想遷移，運用類比推理，以揭示數學本質. 它能很好地考查學生的閱讀理解能力、分析推理能力、數據處理能力、文學概括能力、書面表達能力.

例3 （2015年山東青島卷）問題提出：用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？

問題探究：

不妨假設能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關系，我們可以從特殊入手，通過試驗、觀察、類比，最后歸納、猜測得出結論.

探究一：（1）用3根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？此時，顯然能搭成一種等腰三角形. 所以，當n=3時，m=1.

（2）用4根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三角形. 所以，當n=4時，m=0.

（3）用5根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，則不能搭成三角形；若分為2根木棒、2根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形. 所以，當n=5時，m=1.

（4）用6根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形； 若分為2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形. 所以，當n=6時，m=1.

綜上所述，可得表：

探究二：（1）用7根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

（2）分別用8根、9根、10根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續進行探究……

解決問題：

用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？設n分別等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是整數，把結果填在表中.

問題應用：

用2016根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（要求寫出解答過程）其中面積最大的等腰三角形每個腰用了 根木棒. （只填結果）

從字面上看，該問題平淡無奇，屬于規律探究類問題，但若深入思考，細加品味，就會發現在平時的“題海”中又很難找出原型，需要讓學生經歷觀察猜想、歸納結論、實踐應用以及體驗合情推理等數學過程. 本題用n根相同的木棒搭等腰三角形的個數（木棒無剩余），難度較大. 所以，問題從特殊情況入手→探索發現規律→綜合歸納→猜想得出結論→驗證結論→實踐結論，靈活應用表格中的數據是驗證結論的依據，而解決規律性問題關鍵在于猜想，在于從簡單情形入手，逐個觀察、發現圖形或數的變化規律及內在關系式，構建相應的數學模型，探討某些情境中的特殊、簡單情況下存在的某個結論，然后進一步推廣到一般情況，這是歸納猜想問題的一種經驗或一種模式. 為此要求我們能在一定的背景或特定的條件下，通過觀察、分析、比較、歸納、猜想，從中發現有關數學對象所具有的某種規律或不變性的結論和數學本質的內容，進而利用這個規律或結論進一步解決相關的實際問題，同時在實踐應用中要注意逆向思維的應用.

綜合上述，探究性問題與一般學習內容比較，更具綜合性、實踐性和探索性，它以解決問題的活動為主線，充分運用已學過的知識和數學方法，經過歸納、類比、聯想，構建相應的數學模型，發現共同特征，或者發展變化的趨勢，尋找隱含其中的規律或相關的結論，使結論盡可能與實際情況相吻合，并且滲透探究性學習的思想和方法. 解決問題的核心是通過“操作、觀察、猜想、討論、說理、歸納”等手段，讓學生主動探究，勇于創新，不僅使學生掌握知識，也使學生獲得解決問題的能力. 在探究過程中，注重讓學生獲得解決問題的方法和策略——嘗試、猜想和操作驗證的過程[2] .

二、數學探究性問題的教學啟示

從數學層次上看，探究性問題為學生提供了親身經歷“用數學”“做數學”的過程，在這個探究的過程中，學生經歷了觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等過程，對自己的發現進一步尋求證據，給出證明，無形中就把知識技能、思想方法很好地融進了學生的動手探究中. 在考試中，既考查學生對知識的把握水平，又切實了解學生過程性目標的達成情況，這對今后學生的學習與教師的教學起到了一個引領和示范作用. 因此，探究性問題的意義不僅在于考查相應的知識，更在于考查學生的數學活動過程，在自主探索與合作交流的過程中真正理解數學知識，形成技能，獲得數學思想和方法，擁有廣泛的數學活動經驗，培養良好的數學素養，能夠自主探索和創新，有可持續發展的能力，也有利于改變“重視知識結論，輕視知識形成過程”的教學狀況. 它暗示了教師在設計探究性問題時，要注意了解學生的關注點和興趣點，要盡可能地了解學生的生活實際，在生活中尋找知識的原型，讓學生在問題的探究過程中以積極的心態調動原有的知識和經驗，嘗試解決問題，同化新知識，并積極建構新知識. 它要求師生在以后的數學教學活動中，高度關注知識生成和發展的過程，積極倡導學生參與其中，盡可能地讓學生通過觀察、操作、思考、交流、探究等形式主動參與學習，展現基本概念的抽象和概括過程、數學問題的提出過程、解題思路的探索和形成全過程、基本規律的發現和總結過程，力爭做到“知其然，更要知其所以然”，從而積累解決問題的經驗和策略，積累數學活動經驗，提升學生的數學素養.

數學的創新與發現并不神秘，只要我們遵循數學研究的基本規律，從已有的具體問題出發，將特殊問題一般化，或一般問題特殊化，或對已有問題作橫向和縱向的類比，或將問題逆向思考，總會發現、提出新問題，并通過合情推理或演繹推理等加以解決. 所有這些都要求我們課堂教學應注重探究知識的形成過程，培養學生自主探究的能力. 教學中在重視知識傳授的同時，更要重視數學思想方法的滲透，培養學生提出問題、分析問題、探究問題、解決問題的能力，發展學生的創新意識和應用意識.

參考文獻：

[1] 陳洪遠. 初中數學探究題集錦 [M]. 杭州：浙江教育出版社，2006.

[2] 伍友平. 2010年江西省南昌市中考試題“課題學習”評析 [J]. 中國數學教育，2011（5）：16-18.