關(guān)于預(yù)可解子范疇的同調(diào)維數(shù)

郭嬌霞,楊曉燕

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州　730070)

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關(guān)于預(yù)可解子范疇的同調(diào)維數(shù)

郭嬌霞,楊曉燕

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州730070)

摘要：引入了關(guān)于阿貝爾范疇中預(yù)可解子范疇的同調(diào)維數(shù),討論了這些同調(diào)維數(shù)的一些性質(zhì).并進(jìn)一步給出了R模范疇中的X-Gorenstein投射維數(shù)和X-Gorenstein內(nèi)射維數(shù)的定義及運(yùn)用.

關(guān)鍵詞：預(yù)可解子范疇;同調(diào)維數(shù);生成子

1　引言

在古典同調(diào)理論中,同調(diào)維數(shù)是重要且基礎(chǔ)的不變量,并且一些確定的模的子范疇都定義了相關(guān)的模的同調(diào)維數(shù).例如:模的平坦、內(nèi)射范疇都分別定義了相關(guān)的平坦、內(nèi)射維數(shù).當(dāng)平坦模,內(nèi)射模推廣到Gorenstein平坦模和Gorenstein內(nèi)射模時(shí),又有了對(duì)應(yīng)的Gorenstein同調(diào)維數(shù)理論[1-6].文獻(xiàn)[7]研究了同一范疇的不同子范疇所定義的同調(diào)維數(shù)之間的關(guān)系及一些性質(zhì).受到這些工作的啟發(fā),本文繼續(xù)研究了這些維數(shù)的一些性質(zhì).

第二部分,引入了阿貝爾范疇中的預(yù)可解子范疇的同調(diào)維數(shù),給出了這些同調(diào)維數(shù)的一些性質(zhì).第三部分,討論了R模范疇中的X-Gorenstein投射維數(shù)和X-Gorenstein內(nèi)射維數(shù).

本文中, A是一個(gè)阿貝爾范疇并且A的所有子范疇都是滿的加法子范疇.

下面首先回顧一些基本的定義.

定義1.1[7]設(shè)C為A的子范疇且n≥0.

(1)若存在A中的正合列

其中Ci∈C,則M叫作A的一個(gè)n-C-合沖, A叫作M的一個(gè)n-C-余合沖.

(2)對(duì)A∈A, A的C維數(shù)定義為:

記作C-dim A.若不存在整數(shù)n,則記C-dim A =∞.

定義1.2設(shè)C為A的子范疇.記

定義1.3[2]設(shè)E為A的子范疇. A中的一個(gè)序列S :···→S1→S2→S3→···叫作HomA(E,-)-正合的,如果對(duì)于任意的E∈E, HomA(E,S)是正合的. A中的滿同態(tài)f叫作E-真的,如果它是HomA(E,-)-正合的.

定義1.4[6]設(shè)C,T都為A的子范疇,且C?T .

(1) C叫作T的生成子,若對(duì)任意的T∈T ,存在正合列0→T′→C→T→0,其中C∈C; C叫作T的余生成子,若對(duì)任意的T∈T ,存在正合列0→T→C→T′→0,其中C∈C.

(2)設(shè)E為A的子范疇. C叫作T的一個(gè)E-真生成子,若對(duì)任意的T∈T ,存在一個(gè)HomA(E,-)-正合的正合列0→T′→C→T→0 ,使得C∈C, T′∈T .

定義1.5[9]設(shè)E和T為A的子范疇. T叫作A中的E-預(yù)可解子范疇,若滿足以下條件:

(1) T有一個(gè)E-真生成子.

(2) T關(guān)于E-真擴(kuò)張封閉,也就是說(shuō),對(duì)任意的HomA(E,-)-正合的正合列

若A1,A3∈T ,則A2∈T .

A的一個(gè)E-預(yù)可解子范疇T叫作E-可解子范疇,若T滿足以下條件.

(3) T關(guān)于E-真滿同態(tài)的核封閉,即對(duì)任意的HomA(E,-)-正合的正合列

若A2,A3∈T ,則A1∈T .

對(duì)偶的,可定義C-余維數(shù), E-預(yù)余可解子范疇, E-余真余生成子.

引理1.6設(shè)C,T都為A的子范疇, C為T的生成子且C關(guān)于直和項(xiàng)封閉.則T∩⊥T?C.

2　相對(duì)于預(yù)可解子范疇的同調(diào)維數(shù)

在此部分中, E和T都為A的子范疇.

引理2.1設(shè)C為A的關(guān)于擴(kuò)張封閉的子范疇.考慮A中的正合列

其中T1,T0∈T .

(1)若T為A的E-預(yù)余可解子范疇,且C為T的E-余真余生成子,則存在HomA(E,-)-正合的正合列

其中T∈T , C∈C.

(2)若T為A的E-預(yù)可解子范疇,且C為T的E-真生成子,則存在HomA(E,-)-正合的正合列

其中T∈T , C∈C.

證明(1)由條件存在正合列

其中T1,T0∈T .因?yàn)镃為T的余真余生成子,所以存在一個(gè)HomA(-,E)-正合的正合列0→T1→C→T′1→0,其中C∈C, T′1∈T .則有以下推出圖,如圖1所示:

圖1　推出圖

考慮以下推出圖,如圖2所示:

圖2　推出圖

因?yàn)閳D1中的第二列是HomA(E,-)-正合的,所以由文獻(xiàn)[7]中的引理2.4(1),可知圖1中的第三列(圖2中的第一列)及圖2的第二列也是HomA(E,-)-正合的.又因?yàn)門0,T′1∈T ,所以T∈T .連接兩圖的中間行即為所要的(2.2)式.

(2)對(duì)偶于以上證明當(dāng)C為T的真生成子

引理2.2設(shè)n≥1.考慮A中的以下正合列

其中Ti∈T .

(1)若T為A的E-預(yù)余可解子范疇, C為T的E-余真余生成子,則存在正合列

及HomA(E,-)-正合的正合列0→M→N→T→0,其中Ci∈C,T∈T .

(2)若T為A的E-預(yù)可解子范疇, C為T的E-真生成子,則存在正合列

及HomA(E,-)-正合的正合列0→T→B→A→0,其中Ci∈C,T∈T .

證明(1)用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n = 2時(shí),由引理2.1已證.現(xiàn)假設(shè)n≥3.考慮正合列

其中Ti∈T .令K = Ker(Tn?3→Tn?4),則由引理2.1知存在正合列

其中Cn?1∈C, T′n?2∈T .令A(yù)′= Im(Cn?1→T′n?2),由歸納假設(shè)存在正合列

其中Ci∈C.因此得到正合列

其中Ci∈C.

(2)對(duì)偶于(1)可得證.

定理2.1設(shè)A∈A且n≥1, C為T的E-真生成子與E-余真余生成子.則下列條件等價(jià):

(1) T -dimA≤n.

(2)存在一個(gè)正合列

其中Ci∈C,Kn∈T .

(3)對(duì)任意非負(fù)整數(shù)t存在一個(gè)正合列

使得Xt∈T ,且對(duì)i = 0,···,t?1,t + 1,···,n,Xi∈C.

證明(2)?(1),(3)?(1),(3)?(2)顯然. (1)?(2)由[9]中的引理3.6已證.

(1)?(3)用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n = 1時(shí)存在正合列0→T1→T0→A→0,其中T1,T0∈T .則由引理2.1知,存在正合列0→C1→T′0→A→0及0→T′1→C0→A→0,其中現(xiàn)假設(shè)n≥2.則存在正合列

其中Ti∈T ,0≤i≤n.令Q = Ker(T1→T0).則有正合列

于是由引理2.1得正合列0→Q→T′1→C0→A→0.故有正合列

其中T′1∈T ,C0∈C.令N = Ker(C0→A),可知T -dimN≤n?1.則由歸納假設(shè),存在正合列

其中Xt∈T ,Xi∈C,C0∈C,i /= t.

3　 X-Gorenstein投射模和X-Gorenstein內(nèi)射模

在本節(jié)中, R是一個(gè)環(huán)并且R模范疇中的所有子范疇都是滿的加法子范疇.對(duì)于R模范疇中的模A,用pdRA,idRA,fdRA分別表示A的投射維數(shù),內(nèi)射維數(shù),平坦維數(shù). P,I分別表示由投射模和內(nèi)射模組成的范疇.

設(shè)X是一個(gè)包含投射模的模類, A為一個(gè)R-模. A叫作X-Gorenstein投射的,若存在一個(gè)HomR(-,X)-正合的正合列

其中每個(gè)層次都為投射的,使得A～= Im(P0→P0).記X-GP為R-模的由X-Gorenstein投射模組成的子范疇. A的X-Gorenstein投射維數(shù)定義為:

若不存在整數(shù)n,則記X-GpdRA =∞.

命題3.1設(shè)A為一個(gè)R-模.

(1)若A∈(X-GP)⊥,則pdRA = X-GpdRA.

(2)若pdRA＜∞,則pdRA = X-GpdRA = (⊥P)-dimA.

(3)若X-GpdRA＜∞,則X-GpdRA = (⊥P)-dimA.

(4)若fdRA＜∞,則pdRA = X-GpdRA.

證明(1)顯然P是X-GP的P-真生成子與P-余真余生成子.由文獻(xiàn)[7]中的引理3.1知X-GP關(guān)于擴(kuò)張封閉.再由文獻(xiàn)[9]中的引理3.10(3),令

則對(duì)A∈(X-GP)⊥,有pdRA = X-GpdRA.

(2)由文獻(xiàn)[9]中的命題5.3(1),有pdRA = (⊥P)-dimA,若pdRA＜∞.

(3)已知X-GP關(guān)于擴(kuò)張封閉.設(shè)X-GpdRA = n＜∞.則由定理2.1存在一個(gè)正合列

其中Pi∈投射模, Gi∈X-GP.對(duì)于任意的1≤i≤n?1,令Ki= Im(Pi→Pi?1).假設(shè)

顯然m≥n.事實(shí)上若m＜n,則由文獻(xiàn)[9]中的定理3.8(1)知Km∈⊥P,Kn?1∈⊥P.因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)HomR(-,X)-正合的正合列0→Gn→P→G→0,其中P∈投射模, G∈X-GP,

有以下推出圖,如圖3所示:

圖3　推出圖

因?yàn)閳D3中的中間行和中間列都是可裂的,所以G′～= Pn?1⊕G∈X-GP,且Kn?1同構(gòu)于G′的直和項(xiàng),這表明Kn?1∈X-GP,且X-GpdRA≤n?1.矛盾.

(4)由X-Gorenstein投射模的定義,很容易看到A∈(X-GP)⊥.類似于(1)的證明即可.

設(shè)X是一個(gè)包含內(nèi)射模的模類, A為一個(gè)R-模. A叫作X-Gorenstein內(nèi)射的,若存在一個(gè)HomR(X,-)-正合的正合列···→I1→I0→I0→I1→···其中每個(gè)層次都為內(nèi)射的,使得A～= Im(I0→I0).記X-GI為R-模的由X-Gorenstein內(nèi)射模組成的子范疇. A的X-Gorenstein內(nèi)射維數(shù)定義為:

若不存在整數(shù)n,則記X-GidRA =∞.

對(duì)偶于命題3.1,有以下結(jié)論.

命題3.2設(shè)A為一個(gè)R-模.

(1)若A∈⊥(X-GI),則idRA = X-GidRA.

(2)若idRA＜∞,則idRA = X-GidRA = (I⊥)-codimA.

(3)若X-GidRA＜∞,則X-GidRA = (I⊥)-codimA.

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2010 MSC: 16D40

Homological dimensions with respect to preresolving subcategories

Guo Jiaoxia , Yang Xiaoyan
(Department of Mathematics , Northwest Normal University, Lanzhou 730070, China)

Abstract:This paper introduce the homological dimensions with respect to preresolving subcategories of an abelian category, discuss some properties about the homological dimensions. Next give the difinition and ues about the X-Gorenstein projective dimension and X-Gorenstein injective dimension of R-modules.

Key words:preresolving subcategories, homological dimension, generator, elementary method, conjecture

作者簡(jiǎn)介：郭嬌霞(1988-),碩士生,研究方向：同調(diào)理論.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11361051).

收稿日期：2015-11-12.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.010

中圖分類號(hào)：O178

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-5513(2016)01-0067-08